Beweis: Summe von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mo 22.12.2008 | | Autor: | farnold |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
seien A,B Untervektorräume von V
dim(A+B) = dim A + dimB- dim(A geschnitten B) ist zu zeigen
dazu such ich mir erstmal ne Basis (v[1],.....,v[n]) von A [mm] \cap [/mm] B
=> Basis von A = (v[1],......v[n],x[1],.....,x[n])
Basis von B = (v[1],.....v[n],y[1],.......,y[h])
Jetzt müssen wir nur noch zeigen dass B = (v[1],......v[n],x[1],.....,x[n],y[1],.......,y[h]) eine Basis von A+B bildet und wir haben unsere Formel.
Dies macht man indem man zeigt das es um den Nullvektor darzustellen nur die triviale Lösung 0 für alle Skalare gibt.
soweit ist ja noch alles klar
sei nun also:
[mm] \lambda [/mm] [1] v[1] +....+ [mm] \lambda [/mm] [n] v[n] + [mm] \mu [/mm] [1] x[1] + ........ + [mm] \mu [/mm] [n] x[n] + [mm] \beta [/mm] [1] y[1]+ ......... + [mm] \beta [/mm] [n] y[n] = 0
jetzt wird in dem Beweis aber statt [mm] \lambda [/mm] [1] v[1] +....+ [mm] \lambda [/mm] [n] v[n] + [mm] \mu [/mm] [1] x[1] + ........ + [mm] \mu [/mm] [n] in der Linearkombination einfach w [mm] \in [/mm] A geschrieben.
Darf man das so einfach machen? sind dann bestimmte forderungen an das w A gestellt, srich darf es ein beliebiges w A sein? Nein, oder?
ich meine dann ist ja w = - ( [mm] \beta [/mm] [1] y[1]+ ......... + [mm] \beta [/mm] [n] y[n] ) eine 2. Forderung die dieses w A erfüllen muss, nämlich es muss aus B sein aber nicht aus A geschnitten B da keine lamdas in der 2. Schreibweise vorkommen.
Im Beweis sagen sie nun aber das [mm] \mu[1],....\mu [/mm] [2] = 0 sind wegen der Eindeutigkeit, wieso, müsste nicht eher daraus folgen dass [mm] \lambda[1],....\lambda[n]=0 [/mm] sind weil diese in der 2. Schreibweise nicht vorkommen?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> seien A,B Untervektorräume von V
>
> dim(A+B) = dim A + dimB- dim(A geschnitten B) ist zu
> zeigen
>
> dazu such ich mir erstmal ne Basis (v[1],.....,v[n]) von A
> [mm]\cap[/mm] B
> => Basis von A = (v[1],......v[n],x[1],.....,x[n])
> Basis von B = (v[1],.....v[n],y[1],.......,y[h])
>
> Jetzt müssen wir nur noch zeigen dass B =
> (v[1],......v[n],x[1],.....,x[n],y[1],.......,y[h]) eine
> Basis von A+B bildet und wir haben unsere Formel.
Hallo,
EDIT: Hier steht Unfug, s. Mitteilung
und genau das wird i.a. nicht gelingen.
Sei [mm] A:=<\vektor{1\\0}\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}>, B:=<\vektor{1\\0}, \vektor{1\\1}>.
[/mm]
Sicher ist [mm] <\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}, \vektor{1\\1}> [/mm] keine Basis von A+B.
richtig ist:
in meinem Beispiel besteht der Schnitt doch nicht nur aus [mm] <\vektor{1\\0}>, [/mm] sondern aus [mm] A=B=\IR^2!
[/mm]
(Da war wohl doch der Räuchermann am Werke...)
Gruß v. Angela
P.S.: Schreib doch bitte Indizes auch als Indizes (Formeleditor, Eingabehilfen unterhalb des Eingabefensters.), es wäre bequemer zu lesen.
> Dies macht man indem man zeigt das es um den Nullvektor
> darzustellen nur die triviale Lösung 0 für alle Skalare
> gibt.
>
> soweit ist ja noch alles klar
>
> sei nun also:
> [mm]\lambda[/mm] [1] v[1] +....+ [mm]\lambda[/mm] [n] v[n] + [mm]\mu[/mm] [1] x[1] +
> ........ + [mm]\mu[/mm] [n] x[n] + [mm]\beta[/mm] [1] y[1]+ ......... +
> [mm]\beta[/mm] [n] y[n] = 0
>
> jetzt wird in dem Beweis aber statt [mm]\lambda[/mm] [1] v[1] +....+
> [mm]\lambda[/mm] [n] v[n] + [mm]\mu[/mm] [1] x[1] + ........ + [mm]\mu[/mm] [n] in
> der Linearkombination einfach w [mm]\in[/mm] A geschrieben.
> Darf man das so einfach machen? sind dann bestimmte
> forderungen an das w A gestellt, srich darf es ein
> beliebiges w A sein? Nein, oder?
> ich meine dann ist ja w = - ( [mm]\beta[/mm] [1] y[1]+ ......... +
> [mm]\beta[/mm] [n] y[n] ) eine 2. Forderung die dieses w A
> erfüllen muss, nämlich es muss aus B sein aber nicht aus A
> geschnitten B da keine lamdas in der 2. Schreibweise
> vorkommen.
>
>
> Im Beweis sagen sie nun aber das [mm]\mu[1],....\mu[/mm] [2] = 0
> sind wegen der Eindeutigkeit, wieso, müsste nicht eher
> daraus folgen dass [mm]\lambda[1],....\lambda[n]=0[/mm] sind weil
> diese in der 2. Schreibweise nicht vorkommen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 22.12.2008 | | Autor: | farnold |
ok, werde ich mir in zukunft merken
Hallo,
> >und genau das wird i.a. nicht gelingen.
> > Sei $ [mm] A:=<\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}>, B:=<\vektor{1\\0}, [/mm]
> > [mm] \vektor{1\\1}>. [/mm] $
> >
> > Sicher ist $ [mm] <\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}, \vektor{1\\1}> [/mm] $ keine > > Basis von A+B.
aber wir wollen doch gerade zeigen, dass B eine Basis (unverkürzbares Erzeugendensystem) von A+B ist und in der Basis B würde bei deinem Beispiel doch nur 2 Vektoren vorkommen, da der Schnitt die Dimension 2 hat. mir ist nur unklar wie sie das dann zeigen :(
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> > >und genau das wird i.a. nicht gelingen.
> > > Sei $ [mm]A:=<\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}>, B:=<\vektor{1\\0},[/mm]
> > > [mm]\vektor{1\\1}>.[/mm] $
> > >
> > > Sicher ist [mm]<\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}, \vektor{1\\1}>[/mm]
> keine > > Basis von A+B.
>
> aber wir wollen doch gerade zeigen, dass B eine Basis
> (unverkürzbares Erzeugendensystem) von A+B ist und in der
> Basis B würde bei deinem Beispiel doch nur 2 Vektoren
> vorkommen, da der Schnitt die Dimension 2 hat. mir ist nur
> unklar wie sie das dann zeigen :(
Hallo,
sie zeigen das bestimmt nicht.
Vielleicht postest Du mal den Beweis im O-Ton, so, wie er Dir vorliegt, ohne eigene Interpretationen.
Du kannst dann gerne dazu Kommentare schreiben (vielleicht in anderer Farbe oder eingerückt), in welchen Du sagst, wie Du diesen und jenen Schritt verstehst, und was Du nicht verstehst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 22.12.2008 | | Autor: | farnold |
Ok der Beweis lautet wiefolgt:
das rotgeschreibene sind meine "ergänzungen"
seien A,B Untervektorräume von V über K
dim(A+B) = dim A + dimB- dim(A [mm] \cap [/mm] B) ist zu zeigen
suche Basis [mm] (v_{1},.....,v_{n}) [/mm] von A [mm] \cap [/mm] B
ergänze zur Basis von A = [mm] (v_{1},.....,v_{n},x_{1},.....,x_{n}) [/mm] und
Basis von B = [mm] (v_{1},.....,v_{n},y_{1},.....,y_{n})
[/mm]
Die Behauptung ist bewiesen, wenn wir gezeigt haben, dass
[mm] B:=(v_{1},.....,v_{n},x_{1},.....,x_{n},y_{1},.....,y_{n}) [/mm] eine Basis von A+B ist.
Zum beweis der lineare Unabhängigkeit sei
[mm] \lambda_{1} v_{1} [/mm] +.....+ [mm] \lambda_{n} v_{n} [/mm] + [mm] \mu_{1} x_{1} [/mm] +.....+ [mm] \mu_{n} x_{n} [/mm] + [mm] \beta_{1} y_{1} [/mm] +.....+ [mm] \beta_{n} y_{n} [/mm] = 0 (*)
v:= [mm] \lambda_{1} v_{1}+.....+ \lambda_{n} v_{n} [/mm] + [mm] \mu_{1} x_{1} [/mm] +.....+ [mm] \mu_{n} x_{n} [/mm] , so ist v A
diese v ist ja nun aus A, dieses v kann man aber nicht beliebig aus A wählen sondern muss zugleich noch die Bedinung v= - ( [mm] \beta_{1} y_{1} [/mm] +.....+ [mm] \beta_{n} y_{n} [/mm] ) erfüllen, wenn ich das richtig verstanden habe? setzte ich dieses v also in die Linearkombination (*) ein?
und
v= - ( [mm] \beta_{1} y_{1} [/mm] +.....+ [mm] \beta_{n} y_{n} [/mm] ) B
=> v A [mm] \cap [/mm] B
=> v = [mm] \alpha_{1} v_{1} [/mm] + ..... + [mm] \alpha_{n} v_{n} [/mm] mit [mm] \alpha_{1},...,\alpha_{n} [/mm] K und wegen der Eindeutigkeit der Linearkombination folgt
[mm] \mu_{1},...,\mu_{n} [/mm] = 0.
warum folgt das? ich kann das v ja auch ohne die Vektoren schreiben die in A [mm] \cap [/mm] B enthalten sind, oder nicht?
.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Mo 22.12.2008 | | Autor: | Steini |
Hi,
wie wäre es, wenn du als erstes eine Basis von A [mm] \cap [/mm] B wählst und die dann ergänzt? Das dürfte Tipp genug sein.
Das was du machst, ist von der Idee her nicht falsch, aber man sollte vll. etwas strukturierter anfangen.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 22.12.2008 | | Autor: | farnold |
> Hi,
> wie wäre es, wenn du als erstes eine Basis von A [mm]\cap[/mm] B
> wählst und die dann ergänzt? Das dürfte Tipp genug sein.
> Das was du machst, ist von der Idee her nicht falsch, aber
> man sollte vll. etwas strukturierter anfangen.
> Viele Grüße
> Stefan
>
das habe ich doch gemacht
Zitat :
"suche Basis $ [mm] (v_{1},.....,v_{n}) [/mm] $ von A $ [mm] \cap [/mm] $ B
ergänze zur Basis von A = $ [mm] (v_{1},.....,v_{n},x_{1},.....,x_{n}) [/mm] $ und
Basis von B = $ [mm] (v_{1},.....,v_{n},y_{1},.....,y_{n}) [/mm] $"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mo 22.12.2008 | | Autor: | Steini |
Hi,
ok, hatte ihc übersehen.
Prinzipiell ist alles richtig. Du solltest bei deinem Beweis, den du abgibst jedoch die Sätze und Lemmas direkter ansprechen, damit der Korrektor weiß, was du meinst.
Und ich würde deine Bezeichnungen eindeutiger machen. Es ist z.B. nicht gerade ideal wenn du zwei Vektorräume A und B hast, dass du die Basis von A+B B nennst. Ich denke, es ist klar warum.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:42 Mo 22.12.2008 | | Autor: | farnold |
oh ja klar ist mir gar nicht aufgefallen :(
war das rot geschreibene/interpretierte auch richtig?
bzw. könntest du mir erklären wie man darauf kommt dass [mm] \mu_{1}=...=\mu_{1}=0 [/mm] ist ?
wir haben ja zuvor festgestellt, dass v sowohl in A als auch in B liegt.
Daraus folgern wir, dass man den vektor v auch als Linearkombination der Basisvektoren A geschnitten B darstellen kann, also ohne die Vektoren die A zu einer Basis von A ergänzen => [mm] \mu_{1}=...=\mu_{1}=0 [/mm]
habe ich das so richtig interpretiert?
der vektor v ist doch hier letztendlich nur der Nullvektor, (d.h. ich darf v am anfang nicht beliebeig wählen)?
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Hallo,
wo kommt der Beweis denn her?
Haben sich das die Kommilitonen ausgedacht, oder hast Du das in der Vorlesung notiert?
Gibt es irgendwelche speziellen Voraussetzungen bzgl der Dimensionen (außer daß die endlich sind) oder was weiß ich? Eine besondere Aufgabenstellung?
So, wie es jetzt dasteht, ist es einfältig - oder ich bin benebelt vom Räuchermännchen:
> Ok der Beweis lautet wiefolgt:
> das rotgeschreibene sind meine "ergänzungen"
>
> seien A,B Untervektorräume von V über K
> dim(A+B) = dim A + dimB- dim(A [mm]\cap[/mm] B) ist zu zeigen
> suche Basis [mm](v_{1},.....,v_{n})[/mm] von A [mm]\cap[/mm] B
> ergänze zur Basis von A =
> [mm](v_{1},.....,v_{n},x_{1},.....,x_{n})[/mm] und
> Basis von B = [mm](v_{1},.....,v_{n},y_{1},.....,y_{n})[/mm]
Schon diese Ergänzungen, die im Prinzip eine gute Sache sind, sind kurios: wieso ist denn die Dimension von A und B jeweils doppelt so groß wie die von [mm] A\cap [/mm] B ?
>
> Die Behauptung ist bewiesen, wenn wir gezeigt haben, dass
> [mm]B:=(v_{1},.....,v_{n},x_{1},.....,x_{n},y_{1},.....,y_{n})[/mm]
> eine Basis von A+B ist.
Daß das i.a. nicht stimmt, habe ich ja eingangs schon gezeigt durch ein Gegenbeispiel.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mo 22.12.2008 | | Autor: | farnold |
oh da ist mir ein fehler unterlaufen
$ [mm] (v_{1},.....,v_{n},x_{1},.....,x_{z}) [/mm] $ analog für die ganzen anderen Basen, die ergänzten Vektoren müssen nicht die selbe Anzahl an Vektoren haben wie die Basisvektoren aus A geschnitten B
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> oh da ist mir ein fehler unterlaufen
> [mm](v_{1},.....,v_{n},x_{1},.....,x_{z})[/mm] analog für die
> ganzen anderen Basen, die ergänzten Vektoren müssen nicht
> die selbe Anzahl an Vektoren haben wie die Basisvektoren
> aus A geschnitten B
Und sonst? Wo kommt's her?
Und: die kompletten Voraussetzungen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mo 22.12.2008 | | Autor: | farnold |
ist aus "Gerd Fischer" mit dem Titel Lineare Algebra
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Hallo,
beachte meine editierte Antwort oben. Ich war wohl benebelt. Mein Gegenbeispiel ist natürlich keins.
Die Sache mit den Dimensionen hat sich ja inzwischen geklärt.
Gruß v. Angela
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> Ok der Beweis lautet wiefolgt:
> das rotgeschreibene sind meine "ergänzungen"
>
> seien A,B Untervektorräume von V über K
> dim(A+B) = dim A + dimB- dim(A [mm]\cap[/mm] B) ist zu zeigen
> suche Basis [mm](v_{1},.....,v_{n})[/mm] von A [mm]\cap[/mm] B
> ergänze zur Basis von A =
> [mm](v_{1},.....,v_{n},x_{1},.....,x_{n})[/mm] und
> Basis von B = [mm](v_{1},.....,v_{n},y_{1},.....,y_{n})[/mm]
>
> Die Behauptung ist bewiesen, wenn wir gezeigt haben, dass
> [mm]B:=(v_{1},.....,v_{n},x_{1},.....,x_{n},y_{1},.....,y_{n})[/mm]
> eine Basis von A+B ist.
> Zum beweis der lineare Unabhängigkeit sei
>
> [mm]\lambda_{1} v_{1}[/mm] +.....+ [mm]\lambda_{n} v_{n}[/mm] + [mm]\mu_{1} x_{1}[/mm]
> +.....+ [mm]\mu_{n} x_{n}[/mm] + [mm]\beta_{1} y_{1}[/mm] +.....+ [mm]\beta_{n} y_{n}[/mm]
> = 0 (*)
>
> v:= [mm]\lambda_{1} v_{1}+.....+ \lambda_{n} v_{n}[/mm] + [mm]\mu_{1} x_{1}[/mm]
> +.....+ [mm]\mu_{n} x_{n}[/mm] , so ist v A
> diese v ist ja nun aus A, dieses v kann man aber nicht
> beliebig aus A wählen sondern muss zugleich noch die
> Bedinung v= - ( [mm]\beta_{1} y_{1}[/mm] +.....+ [mm]\beta_{n} y_{n}[/mm] )
> erfüllen, wenn ich das richtig verstanden habe? setzte ich
> dieses v also in die Linearkombination (*) ein?
Hallo,
nein.
Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit ist ja zu zeigen, daß jegliche Linearkombination der betrachteten Vektoren, welche die Null ergibt, die triviale Linearkombination ist.
Also muß gezeigt werden, daß die Koeffizienten in [mm] (\*) [/mm] zwangsläufig =0 sind.
Dieses v, welches definiert wird, ist ja der erste Teil der Linearkombination. Er stammt aus A, denn er ist eine Linearkombination von Basisvektoren aus A.
Da nun v+ [mm]\beta_{1} y_{1}[/mm] +.....+ [mm]\beta_{n} y_{n}[/mm] = 0 ist, kann es nicht anders sein, als daß
v=-( [mm]\beta_{1} y_{1}[/mm] +.....+ [mm]\beta_{n} y_{n}[/mm] ) bzw. -v= [mm]\beta_{1} y_{1}[/mm] +.....+ [mm]\beta_{n} y_{n}[/mm] .
> und
> v= - ( [mm]\beta_{1} y_{1}[/mm] +.....+ [mm]\beta_{n} y_{n}[/mm] ) B
>
> => v A [mm]\cap[/mm] B
und wenn's im Schnitt ist, ist's eine Linearkombination der [mm] v_i:
[/mm]
> => v = [mm]\alpha_{1} v_{1}[/mm] + ..... + [mm]\alpha_{n} v_{n}[/mm] mit
> [mm]\alpha_{1},...,\alpha_{n}[/mm] K und wegen der Eindeutigkeit
> der Linearkombination folgt
> [mm]\mu_{1},...,\mu_{n}[/mm] = 0.
Es sind die [mm] v_i [/mm] und die [mm] x_i [/mm] linear unabhängig, da sie eine basis von A bilden.
Nun ist v= [mm]\lambda_{1} v_{1}+.....+ \lambda_{n} v_{n}[/mm] + [mm]\mu_{1} x_{1}[/mm] +.....+ [mm]\mu_{n} x_{n}[/mm]= [mm]\alpha_{1} v_{1}[/mm] + ..... + [mm]\alpha_{n} v_{n}[/mm]
==> 0= [mm](\lambda_{1} v_{1}-\alpha_1)+.....+ (\lambda_{n} v_{n}-\alpha_n)[/mm] + [mm]\mu_{1} x_{1}[/mm] +.....+ [mm]\mu_{n} x_{n}[/mm],
mit der lineraren Unabhängigkeit folgt [mm] \lambda_{1} v_{1}-\alpha_1=0 [/mm] und ...und [mm] \lambda_{n} v_{n}-\alpha_n=0 [/mm] und [mm] \mu_1=0 [/mm] und ... und [mm] \mu_{n'}=0
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S.: Daß die Ergänzungen nicht ganz richtig sind, hatte ich ja schon zuvor angemerkt, Ich hatte keine Lust, das zu korrigieren. stell Dir [mm] x_1,...x_{n'} [/mm] und [mm] y_1,...,y_{n''} [/mm] vor.
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