Beweis Summe 1/k!=e < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:29 Fr 14.05.2004 | | Autor: | HHKA |
Hallo!
Kann mir jemand den Beweis für [mm]\summe_{k=0}^{\infty} {1 \br k!} = e[/mm] zeigen? Bin von den tollen, verständlichen Erklärungen hier begeistert. Hoffentlich auch für mein Problem.
Viele Grüße,
Mark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:42 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mark,
> Hallo!
> Kann mir jemand den Beweis für "(Summe von K=0 bis inf) 1/k! = e"
> zeigen? Bin von den tollen, verständlichen Erklärungen
> hier begeistert. Hoffentlich auch für mein Problem.
Das würde ich gerne, aber ich muss morgen früh raus. Aber ich kann dir sagen, wo der Beweis steht:
![[]](/images/popup.gif) Skript
Satz 7.4, Seite 66 (Zählung oben)
Es ist natürlich etwas problematisch, dass wir die Exponentialfkt. gerade über diese Reihenentwicklung definiert haben, aber du kannst ja die Exponentialfkt. ebenso über die Folge [mm] $(1+\bruch{z}{n})^{n}$ [/mm] definieren. Das ist ja gerade die Aussage des Satzes 
(Du benötigst aber einige Detailkenntnisse, wenn du auch alles bis ins Detail verstehen willst. Eigentlich müßtest du zumindest Kapitel 5 und 6 etwas genauer angucken...)
Wenn du dort $z:=1$ einsetzt, erhältst du deine Aussage. Dort steht die Aussage aber für allgemeines $z [mm] \in \IC$.
[/mm]
Ich stelle die Frage mal auf teilweise beantwortet, vielleicht will dir ja auch sonst noch jemand (s)einen Beweis vorführen
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:57 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
hast du dir die Sachen im Skript angeschaut und verstanden?
Wenn wir effektiv weiterhelfen wollen, müssten wir etwas genauer wissen, was ihr bisher gemacht habt.
Konkret:
1) Wie habt ihr die Eulersche Zahl $e$ definiert?
2) Was habt ihr über die Exponentialreihe [mm]\exp(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}[/mm] bisher erfahren (Definition, Konvergenz,...)?
Sonst wissen wir ja gar nicht, was zu zeigen ist...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Fr 14.05.2004 | | Autor: | HHKA |
Hallo Stefan,
im Skript habe ich nur Bahnhof verstanden. Über die Eulersche Zahl weiss ich nur, dass es eine Zahl um die 2,71... ist und Exponetialreihen...(???). Ich vermute, dass das in der Vorlesung noch dran. Folgen und Reihen haben wir bisher (grob) behandelt.
Vielen Dank für die kompetenten Antworten!
Viele Grüße,
Mark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, aber wenn ihr doch zeigen sollt, dass irgendetwas gleich $e$ ist, dann müsst ihr doch vorher irgendwann einmal $e$ definiert haben. Wie denn?
Bestimmt nicht als $e [mm] \approx 2,71\ldots$.
[/mm]
Sondern?
Wenn du uns das schreibst, können wir dir vielleicht weiterhelfen?
Und die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ [/mm] habt ihr wirklich noch nie betrachtet??
Melde dich bitte noch einmal. Mit den bisherigen Informationen können wir dir leider nicht helfen.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mark,
> im Skript habe ich nur Bahnhof verstanden. Über die Eulersche Zahl
> weiss ich nur, dass es eine Zahl um die 2,71... ist und
> Exponetialreihen...(???). Ich vermute, dass das in der Vorlesung noch
> dran. Folgen und Reihen haben wir bisher (grob) behandelt.
Ja, das Problem an der Geschichte ist dann (wie schon gesagt, aber ich sage es noch einmal  ), dass du/ihr (vermutlich) andere Voraussetzungen habt. Das Skript ist (hauptsächlich) ein Skript für Mathematik-Studenten (und/oder Interessierte) und baut natürlich Schritt für Schritt aufeinander auf. Vermutlich fehlen dir/euch noch gewisse Kenntnisse, um den Beweis so, wie er dort geführt wird, nachzuvollziehen. Deshalb habe ich ja auch erwähnt, dass du zumindest die Kapitel 5 und 6 mal durcharbeiten solltest, falls ihr dies nicht so ausführlich behandelt habt. Man kann die Exponentialreihe so definieren wegen des Wurzelkriteriums (oder sogar wegen des Quotientenkriteriums. Aber das Wurzelkriterium ist noch schärfer als das Quotientenkriterium (Bemerkung 6.20), d.h. wenn das Quotientenkriterium greift, dann auch das Wurzelkriterium!)
Aber ihr habt ja Exponentialreihen noch gar nicht behandelt?
Wie grob habt ihr denn Reihen behandelt? Sagen dir die Begriffe Wurzelkriterium bzw. Quotientenkriterium etwas?
Wenn man mit dem Skript nicht vertraut ist, ist es natürlich schwer, mittendrin einzusteigen und einen Beweis bis ins Detail nachzuvollziehen. Die Zahl e mit 2,71... zu definieren, macht natürlich keinen Sinn (wie hat man denn das ... weiterzuführen? Da gibts ja Milliarden Möglichkeiten (und das ist noch untertrieben )). Das ist ja nur ein Näherungswert für e.
Vielleicht habt ihr sie ja als Grenzwert der Folge [mm] $(1+\bruch{1}{n})^n$ [/mm] definiert?
(Warum das geht findest du im Skript z.B. auf Seite 40 (Zählung oben) Beispiel 5.13!)
Es ist natürlich wichtig, dass du dies noch mitteilst. Allerdings werde ich vermutlich vor Ende nächster Woche nicht mehr hier nachgucken können. Deshalb wäre es sehr nett, wenn entweder Julius oder Stefan (oder auch sonst jemand) dir bei deiner/deinen Frage/n weiterhelfen könnten
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Fr 14.05.2004 | | Autor: | HHKA |
Hallo!
Ersteinmal vielen Dank für Eure schnelle und kompetente Hilfe!
Unsere Übungsblätter sind wirklich immer so aufgebaut, dass wir uns mit dem zukünftigen Stoff schon mal vertraut machen sollen. Selbstständig.
Wobei wir jetzt gerade das Quotienten- und Wurzelkriterium definiert haben. Jetzt muss ich das nur noch verstehen. Ich tue mich noch immer ziemlich schwer mit Beweisen, vollst. Induktion, etc.
Ich werde nun versuchen das vorgeschlagene Skript etwas genauer zu studieren. Habt ihr vielleicht einen Buchtipp? "Mathe anschaulich erklärt"? Am besten kann ich mir den Stoff anhand von Beispielen klar machen. Klasse Forum hier!
Viele Grüße aus Karlsruhe,
Mark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mark,
entschuldige, dass ich mich erst so spät wieder melde, aber ich hatte jetzt wirklich einiges um die Ohren. Bin gerade dabei, meine Vordiplomsprüfungen zu machen, eine fehlt mir noch (in meinem Matheteil; dann muss ich irgendwann noch die Prüfung im Nebenfach machen...). Aber das ist Lineare Algebra, das ist nicht so wild (hoffe ich ). Dennoch lege ich momentan am meisten Wert darauf, mich auch noch auf diese Prüfung zu konzentrieren (verständlicherweise ).
Ich habe aber momentan etwas Zeit, und die möchte ich dazu nutzen, dir noch einmal zu antworten:
> Hallo!
> Ersteinmal vielen Dank für Eure schnelle und kompetente Hilfe!
> Unsere Übungsblätter sind wirklich immer so aufgebaut, dass wir uns mit
> dem zukünftigen Stoff schon mal vertraut machen sollen. Selbstständig.
Hm, eigentlich ist die Idee dieser Lernmethode ja gut. Denn später wirst du dir ja auch evtl. einiges alleine aneignen können müssen. Allerdings kann ich mir auch vorstellen, dass das Probleme bereiten kann. Notfalls wäre es dann angebracht, dich mit einigen Kommilitonen zusammenzusetzen und die Aufgaben zusammen zu besprechen, Notizen zu machen und dann mithilfe dieser versuchen, zuhause selbstständig die Aufgabe zu bearbeiten. Ausserdem kannst du ja auch deinen Professor/deine Professorin ansprechen, wenn dir etwas absolut unklar ist. Und bevor ichs vergesse:
Natürlich kannst/darfst/sollst du ggf. deine Fragen hier ins Forum setzen
> Wobei wir jetzt gerade das Quotienten- und Wurzelkriterium definiert
> haben. Jetzt muss ich das nur noch verstehen. Ich tue mich noch immer
> ziemlich schwer mit Beweisen, vollst. Induktion, etc.
Was verstehst du denn unter definiert? Ich glaube eher, du meinst formuliert. Wenn du Fragen diesbezüglich hast, so kannst du die natürlich auch hier gerne stellen. Ich denke, es findet sich immer eine Person (ich stehe allerdings momentan nur eingeschränkt zur Verfügung), die dir dabei helfen kann. Wenn du in das Skript schaust, dann solltest du feststellen, dass das Wurzelkriterium im Wesentlichen von der geometrischen Reihe herkommt. Wenn dir das einmal klar ist, ist der Rest nicht mehr schwer. Die Herleitung zum Quotientenkriterium ist dann auch sehr einfach (siehe Skript).
> Ich werde nun versuchen das vorgeschlagene Skript etwas genauer zu
> studieren.
Okay, bei Fragen: fragen!
> Habt ihr vielleicht einen Buchtipp? "Mathe anschaulich
> erklärt"? Am besten kann ich mir den Stoff anhand von Beispielen klar
> machen. Klasse Forum hier!
Also mit Buchtipps bin ich vorsichtig. Vor allen Dingen bei solchen Büchern mit Anschauung, da ich Anschauung am liebsten umgehe .
Ich kann dir nur empfehlen, einfach mal in der Unibibliothek zu stöbern (habt ihr doch, oder?). Dann sucht man nach den Sachen, die man braucht und schaut mal kurz über den Text des Buches. Meist (zumindest bei mir) ist es so, dass man mit Büchern, die einem beim ersten Lesen sehr verständlich scheinen, auch (zumindest anfangs) ganz gut zurechtkommt.
Andererseits habe ich mir in Analysis auch zwei dicke Schinken gekauft, die mir am Anfang meines Studiums erst gefallen haben, dann eine Zeit lang überhaupt nicht, aber mittlerweile bin ich doch recht zufrieden mit dem Kauf. Ich spreche von den Bändern zur Analysis von Herrn Harro Heuser, allerdings musst du da tief in deinen Geldbeutel greifen, denn billig sind die nicht gerade. Und ich glaube, da gibt es auch Alternativen, die für dich besser geeignet wären. Da ich allerdings am Anfang meiner Studienzeit immer einige verschiedene Bücher ausgeliehen habe, weiss ich nicht mehr, welches mir am besten geholfen hat...
Aber von anderer Seite kommt bestimmt noch der ein oder andere Buchtipp
Viele Grüsse
Marcel
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