Beweis Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mi 07.05.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Durch die Vorschrift (I f)(x)= [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] (x [mm] \in [/mm] [0,1], f [mm] \in [/mm] C[0,1] (Menge aller stetigen Funktionen) wird eine wohldefinierte, stetig lineare Abbildung I: (C[0,1], [mm] ||*||_{[0,1]}-->(C^1 [/mm] [0,1],||*||) definiert. (C^^1 ist der R-Vektorraum einmal stetig diffbaren Funktionen) |
Also die Linearität ist klar, weil die aus der Linearität des Integrals folgt.
Zur Stetigkeit: Es ist |If|=| [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}| \le \integral_{0}^{x}{|f(t)| dt} \le [/mm] x * ||f||. Mit x [mm] \in [/mm] [0,1] Dann ist f stetig.
Bei der Wohldefinieetheit muss man doch Existenz und Eindeutigkeit zeigen, oder?
Bei der Existenz der Abbildung würde ich sagen, dass die daraus folgt, dass f stetig ist und wie oben gezeigt die Abbildung stetig ist, also insbesondere integrierbar.
Bei der Eindeutigkeit:
I(f)=I(g) --> [mm] \integral_{0}^{x}{(f-g) (t) dt} [/mm] Also f=g --> Eindeutigkeit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Mi 07.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Was meinst ihr dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Mi 07.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Linearität musst du genauer hinschreiben I(a*f+b*g)=.....
die Wohldefiniertheit auch etwas ausführlicher.
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sinx-cosx dx}=0 sinx\not=cosx
[/mm]
aber im Prinzip hast du recht. nur vesser aufschreiben.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:15 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Durch die Vorschrift (I f)(x)= [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> (x [mm]\in[/mm] [0,1], f [mm]\in[/mm] C[0,1] (Menge aller stetigen
> Funktionen) wird eine wohldefinierte, stetig lineare
> Abbildung I: (C[0,1], [mm]||*||_{[0,1]}-->(C^1[/mm] [0,1],||*||)
> definiert. (C^^1 ist der R-Vektorraum einmal stetig
> diffbaren Funktionen)
> Also die Linearität ist klar, weil die aus der
> Linearität des Integrals folgt.
>
> Zur Stetigkeit: Es ist |If|=| [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}| \le \integral_{0}^{x}{|f(t)| dt} \le[/mm]
> x * ||f||. Mit x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1] Dann ist f stetig.
Das ist doch Unsinn !
Es ist $I: (C[0,1], ||\cdot{}||}-->(C^1 [0,1],||*||) $ eine Abbildung zwischen 2 normierten Räumen, wobei ich vermute, dass mit $||*||$ die Maximumsnorm gemeint ist.
Da I linear ist, gilt: I ist stetig \gdw es. ex. ein c>0 mit
$||I(f)|| \le c||f||$ für alle f \in C[0,1].
>
> Bei der Wohldefinieetheit muss man doch Existenz und
> Eindeutigkeit zeigen, oder?
Damit ist gemeint: ist f \in C[0,1], so ist tatsächlich $I(f ) \in C^1[0,1].$
>
> Bei der Existenz der Abbildung würde ich sagen, dass die
> daraus folgt, dass f stetig ist und wie oben gezeigt die
> Abbildung stetig ist, also insbesondere integrierbar.
Unfug ! Was soll denn bedeuten, dass I integrierbar ist ???
>
> Bei der Eindeutigkeit:
>
> I(f)=I(g) --> [mm]\integral_{0}^{x}{(f-g) (t) dt}[/mm] Also f=g
Das wäre die Injektivität von I. Danach ist zwar nicht gefragt, aber ist Dir dennoch klar, warum I injektiv ist ?
FRED
-->
> Eindeutigkeit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:10 Do 08.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Wie zeigt man die Stetigkeit dann wenn das was ich geschrieben habe falsch ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wie zeigt man die Stetigkeit dann wenn das was ich
> geschrieben habe falsch ist?
Sei $f [mm] \in [/mm] C[0,1 ]$. Für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ ist
$|I (f)(x)|= | [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}| \le \integral_{0}^{x}{|f(t)| dt} \le \integral_{0}^{x}{||f|| dt} \le \integral_{0}^{1}{||f|| dt} [/mm] =||f|| $ .
Damit ist
$||I(f)|| [mm] \le [/mm] ||f||$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:03 Do 08.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Folgt die Stetigkeit nicht schon daraus, dass f [mm] \in [/mm] C[0,1], was ja gerade die Menge aller stetigen Funktionen auf diesem abgeschlossenen Intervall ist, und x zudem aus dieser Menge [0,1] ist?
Wie kann man denn die Wohldefiniertheit zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Folgt die Stetigkeit nicht schon daraus, dass f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C[0,1],
> was ja gerade die Menge aller stetigen Funktionen auf
> diesem abgeschlossenen Intervall ist, und x zudem aus
> dieser Menge [0,1] ist?
Ich hab doch oben geschrieben, dass es um die Stetigkeit der linearen Abbildung
$ I: (C[0,1], ||\cdot{}||} \to(C^1 [0,1],||\cdot{}||) $
geht !!!
Definiert man $ F: (C^1 [0,1],||\cdot{}||) \to (C [0,1],||\cdot{}||) $ durch
$F(f):=f'$,
so wäre mit Deiner "Argumentation" die Abbildung F stetig. Das ist sie aber nicht, warum ?
>
> Wie kann man denn die Wohldefiniertheit zeigen?
Ist f \in C[0,1] und setzt man
\phi(x):=\integral_{0}^{x}{f(t) dt} (x \in [0,1]),
so ist, mit obiger Notation,
\phi=I(f).
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung macht nun eine Aussage über eine schöne Eigenschaft der Funktion \phi, welche ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Do 08.05.2014 | | Autor: | Calculu |
> > Folgt die Stetigkeit nicht schon daraus, dass f [mm]\in[/mm] C[0,1],
> > was ja gerade die Menge aller stetigen Funktionen auf
> > diesem abgeschlossenen Intervall ist, und x zudem aus
> > dieser Menge [0,1] ist?
>
> Ich hab doch oben geschrieben, dass es um die Stetigkeit
> der linearen Abbildung
>
> [mm]I: (C[0,1], ||\cdot{}||} \to(C^1 [0,1],||\cdot{}||)[/mm]
>
> geht !!!
Ahhh. Sorry!!!!
>
> Definiert man [mm]F: (C^1 [0,1],||\cdot{}||) \to (C [0,1],||\cdot{}||)[/mm]
> durch
>
> [mm]F(f):=f'[/mm],
>
> so wäre mit Deiner "Argumentation" die Abbildung F stetig.
> Das ist sie aber nicht, warum ?
> >
> > Wie kann man denn die Wohldefiniertheit zeigen?
>
> Ist f [mm]\in[/mm] C[0,1] und setzt man
>
> [mm]\phi(x):=\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm] (x [mm]\in[/mm] [0,1]),
>
> so ist, mit obiger Notation,
>
> [mm]\phi=I(f).[/mm]
>
> Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung macht
> nun eine Aussage über eine schöne Eigenschaft der
> Funktion [mm]\phi,[/mm] welche ?
[mm] \phi'= [/mm] f(x) ?!
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Folgt die Stetigkeit nicht schon daraus, dass f [mm]\in[/mm] C[0,1],
> > > was ja gerade die Menge aller stetigen Funktionen auf
> > > diesem abgeschlossenen Intervall ist, und x zudem aus
> > > dieser Menge [0,1] ist?
> >
> > Ich hab doch oben geschrieben, dass es um die Stetigkeit
> > der linearen Abbildung
> >
> > [mm]I: (C[0,1], ||\cdot{}||} \to(C^1 [0,1],||\cdot{}||)[/mm]
> >
> > geht !!!
>
> Ahhh. Sorry!!!!
>
> >
> > Definiert man [mm]F: (C^1 [0,1],||\cdot{}||) \to (C [0,1],||\cdot{}||)[/mm]
> > durch
> >
> > [mm]F(f):=f'[/mm],
> >
> > so wäre mit Deiner "Argumentation" die Abbildung F stetig.
> > Das ist sie aber nicht, warum ?
> > >
> > > Wie kann man denn die Wohldefiniertheit zeigen?
> >
> > Ist f [mm]\in[/mm] C[0,1] und setzt man
> >
> > [mm]\phi(x):=\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm] (x [mm]\in[/mm] [0,1]),
> >
> > so ist, mit obiger Notation,
> >
> > [mm]\phi=I(f).[/mm]
> >
> > Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung macht
> > nun eine Aussage über eine schöne Eigenschaft der
> > Funktion [mm]\phi,[/mm] welche ?
>
> [mm]\phi'=[/mm] f(x) ?!
Ja, [mm] \phi [/mm] ist eine Stammfunktion von von f.
FRED
>
> > FRED
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Do 08.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Ah ok. Da f [mm] \in [/mm] C[0,1], ist f stetig. [mm] \phi [/mm] als Stammfunktion von f ist insbesondere differenzierbar und somit auch stetig. Also ist [mm] \phi \in C^{1}[0,1].
[/mm]
Reicht das als Begründung für die Wohldefiniertheit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:40 Fr 09.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah ok. Da f [mm]\in[/mm] C[0,1], ist f stetig. [mm]\phi[/mm] als
> Stammfunktion von f ist insbesondere differenzierbar und
> somit auch stetig. Also ist [mm]\phi \in C^{1}[0,1].[/mm]
>
> Reicht das als Begründung für die Wohldefiniertheit?
ist f stetig, so ist [mm] \phi'=f, [/mm] somit ist [mm] \phi [/mm] stetig differenzierbar.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Fr 09.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah ok. Da f [mm]\in[/mm] C[0,1], ist f stetig. [mm]\phi[/mm] als
> Stammfunktion von f ist insbesondere differenzierbar und
> somit auch stetig. Also ist [mm]\phi \in C^{1}[0,1].[/mm]
>
> Reicht das als Begründung für die Wohldefiniertheit?
Ergänzung (denn ich habe den Eindruck, dass Dir nicht klar ist welche Funktionen in [mm] C^{1}[0,1] [/mm] sind):
Sei $g:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion:
$g [mm] \in C^{1}[0,1]$ \gdw [/mm] $g$ ist auf [0,1] differenzierbar und $g'$ ist auf [0,1] stetig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank Fred!
Nachdem ich meinen Post nochmal las, konnte ich deine Vermutung nachvollziehen. In der Tat ist es mir anhand deines Beispiels jetzt klar geworden.
Danke! 
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