Beweis Ring nullteilerfrei < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe mich schon an der Aufgabe versucht, bin aber noch zu keinem mich befriedigendem Ergebnis gekommen. Im Folgenden will ich erstmal nur die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] versuchen. Ih vermute, dass man den Beweis mit Widerspruch führt, d.h.
Seien $a,b [mm] \in [/mm] R$ und [mm] $a,b\not= [/mm] 0$ (Nullelement der Multiplikation (das gibt es doch eigentlich gar nicht?)).
Würde nun $a*b = 0$ gelten, könnte man folgendermaßen äquivalent umformen:
$a*b = 0$
[mm] $\gdw [/mm] a*b + b = b$
[mm] $\gdw [/mm] b*a + b*e = b*e$
[mm] $\gdw [/mm] b*(a+e) = b*e$
e ist hier neutrales Element der Multiplikation!
Mit Kürzung folgt
[mm] $\gdw [/mm] a+e = e$
$a = 0$
Widerspruch.
Allerdings ist ja hier das Problem: Woher weiß ich, ob (-e) existiert. Darf ich das über die Existenz des Inversen voraussetzen? (Meine Zweifel richten sich vor allem daran, dass e ja Nullelement der Addition sein könnte)
Steh ich hiermit total auf dem Schlauch? Über Hilfe und Korrektur wäre ich sehr dankbar.
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Mo 10.11.2008 | | Autor: | statler |
> Es sei [mm][/mm] ein kommutativer Ring mit Eins.
> Beweisen Sie: R ist nullteilerfrei genau dann wenn in R die
> Kürzungsregel gilt.
Mahlzeit!
> Ich habe mich schon an der Aufgabe versucht, bin aber noch
> zu keinem mich befriedigendem Ergebnis gekommen. Im
> Folgenden will ich erstmal nur die Richtung [mm]\Rightarrow[/mm]
> versuchen. Ih vermute, dass man den Beweis mit Widerspruch
> führt, d.h.
>
> Seien [mm]a,b \in R[/mm] und [mm]a,b\not= 0[/mm] (Nullelement der
> Multiplikation (das gibt es doch eigentlich gar nicht?)).
Wahrscheinlich soll jetzt die Kürzungsregel gelten. Du solltest deine Voraussetzungen immer genau dazuschreiben und auch hinschreiben, wie und warum du von einer Zeile zur anderen kommst.
> Würde nun [mm]a*b = 0[/mm] gelten, könnte man folgendermaßen
> äquivalent umformen:
>
> [mm]a*b = 0[/mm]
>
> [mm]\gdw a*b + b = b[/mm]
>
> [mm]\gdw b*a + b*e = b*e[/mm]
>
> [mm]\gdw b*(a+e) = b*e[/mm]
>
> e ist hier neutrales Element der Multiplikation!
Also ist e die Eins aus der Aufgabenstellung, auch 1 geschrieben.
> Mit Kürzung folgt
>
> [mm]\gdw a+e = e[/mm]
>
> [mm]a = 0[/mm]
>
> Widerspruch.
> Allerdings ist ja hier das Problem: Woher weiß ich, ob
> (-e) existiert.
Das weißt du, weil der Ring mit der Addition eine kommutative Gruppe ist.
> Darf ich das über die Existenz des Inversen
> voraussetzen? (Meine Zweifel richten sich vor allem daran,
> dass e ja Nullelement der Addition sein könnte)
Dann hätte es auch ein additives Inverses. Das Nullelement ist zu sich selbst invers.
> Steh ich hiermit total auf dem Schlauch? Über Hilfe und
> Korrektur wäre ich sehr dankbar.
Es wäre auch kürzer gegangen, weil a*b = 0 = a*0 ist. Dann folgt a*(b - 0) = 0 usw. kannste selbst.
Gruß aus Harburg
Dieter
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Hallo und danke für die Antwort!
Dein Beweis gefällt mir sehr gut! Würde das dann so vollständig aussehen?:
Seien $a,b [mm] \in [/mm] R$. 0 sei das Nullelement der Multiplikation. Dann ist
$a*b = 0 = a*0$,
wegen der Existenz eines additiv inversen in R ist
$a*b + (-a*0) = 0$
Den Schritt kann ich nicht genau begründen.
$a*b + a*(-0) = 0 = a*0$
Mit Distributivität
$a*(b + (-0)) = a*0$
Mit Kürzbarkeit
$b + (-0) = 0$
mit Addition von 0
$b = 0 + 0 = 0.$
D.h. aus $a*b = 0$ folgt $b = 0$. Nach Anwendung des Kommutativgesetzes folgt auch analog aus $a*b = 0 [mm] \gdw [/mm] b*a = 0$ die Gleichung $a = 0$. Also ist R nullteilerfrei.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mo 10.11.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
Sei R wie in der Aufgabe, und es gelte die Kürzungsregel. Weiterhin..
> Seien [mm]a,b \in R[/mm].
0 sei das neutrale Element der Addition, und es sei a [mm] \not= [/mm] 0, aber a*b = 0.
(Ist dir bekannt und klar, daß x*0 = 0 für alle x [mm] \in [/mm] R ist?)
> Dann ist
>
> [mm]a*b = 0 = a*0[/mm],
und damit nach der Kürzungsregel b = 0. Also ist R nullteilerfrei.
Ist umgekehrt R nullteilerfrei und a*b = a*c mit a [mm] \not= [/mm] 0, dann ist a*(b-c) = 0 und wegen der Nullteilerfreiheit b-c = 0 oder b = c.
>
> wegen der Existenz eines additiv inversen in R ist
>
> [mm]a*b + (-a*0) = 0[/mm]
>
> Den Schritt kann ich nicht genau begründen.
>
> [mm]a*b + a*(-0) = 0 = a*0[/mm]
>
> Mit Distributivität
>
> [mm]a*(b + (-0)) = a*0[/mm]
>
> Mit Kürzbarkeit
>
> [mm]b + (-0) = 0[/mm]
>
> mit Addition von 0
>
> [mm]b = 0 + 0 = 0.[/mm]
>
> D.h. aus [mm]a*b = 0[/mm] folgt [mm]b = 0[/mm]. Nach Anwendung des
> Kommutativgesetzes folgt auch analog aus [mm]a*b = 0 \gdw b*a = 0[/mm]
> die Gleichung [mm]a = 0[/mm]. Also ist R nullteilerfrei.
Gruß
Dieter
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Hallo und wieder danke für deine Antwort! Mir scheint, ich denke zu kompliziert...
Ist es richtig, dass man x*0 = 0 so beweist:
x*0 = x*(0+0) = x*0 + x*0
(Mit 0 neutral. Element der Addition, Distributivität)
Nun auf beiden Seiten Addition des additiv inversen von x*0 auf beiden Seiten:
x*0 + (-x*0) = x*0 + x*0 + (-x*0)
Nach Definition ergeben zueinander Inverse addiert das neutrale Element 0:
0 = x*0 + 0
0 = x*0
??
Vielen Dank für eure / deine Hilfe!!!
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:05 Di 11.11.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen,
das ist völlig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Dieter
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