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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Beweis Richtungs-Abl. Gradient
Beweis Richtungs-Abl. Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis Richtungs-Abl. Gradient: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:37 So 24.04.2011
Autor: BarneyS

Aufgabe
Zeigen Sie für orthogonale Richtungen $ v $ und $ w $ gilt:
[mm] {D_v}^2(f) + {D_w}^2(f) = grad f * grad f [/mm]

Mein einziger Ansatz ist, dass ich erstmal alles in die Summenschreibweise umgeformt habe:

[mm] v*w=0 \gdw \summe_{i=1}^{n} v_i*w_i = 0 [/mm]

[mm] (\summe_{i=1}^{n}f_{x_i}*v_i)^2 + (\summe_{i=1}^{n}f_{x_i}*w_i)^2 = \summe_{i=1}^{n}{f_{x_i}}^2 [/mm]

Und jetzt komme ich leider überhaupt nicht weiter...

Hat jemand ne Idee?

Vielen Dank!

        
Bezug
Beweis Richtungs-Abl. Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 So 24.04.2011
Autor: Blech

Hi,

$f(x,y,z)=z$

[mm] $\mathrm{grad} f=\vektor{0\\0\\1}$ [/mm]

[mm] $v=\vektor{1\\0\\0}$ [/mm]
[mm] $w=\vektor{0\\1\\0}$ [/mm]


[mm] $\Rightarrow [/mm] 0=1$

Vielleicht überseh ich was, aber das sieht wie ein Gegenbeispiel aus, oder nicht?

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Beweis Richtungs-Abl. Gradient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:10 So 24.04.2011
Autor: BarneyS


> Hi,
>  
> [mm]f(x,y,z)=z[/mm]
>  
> [mm]\mathrm{grad} f=\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>  
> [mm]v=\vektor{1\\0\\0}[/mm]
>  [mm]w=\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>  
>
> [mm]\Rightarrow 0=1[/mm]
>  
> Vielleicht überseh ich was, aber das sieht wie ein
> Gegenbeispiel aus, oder nicht?
>  
> ciao
>  Stefan

Sieht ganz danach aus.

Ich hab die vage Vermutung, dass die Gleichung nur im R2 gilt... werde das gleich mal überprüfen...

Danke aber für den Hinweis, das hatte ich so nicht gesehen... :)


Bezug
                
Bezug
Beweis Richtungs-Abl. Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 So 24.04.2011
Autor: BarneyS

Ich hab jetzt eine Lösung gefunden:

[mm] {D_v}^2(f) + {D_w}^2(f) = grad f * grad f \gdw ||grad f||^2 cos^2 (\varphi) + ||grad f||^2 cos^2 (\bruch{3\pi}{2}-\varphi) = ||grad f||^2 \gdw ||grad f||^2(cos^2 (\varphi) + cos^2 (\bruch{3\pi}{2}-\varphi)) = ||grad f||^2(cos^2 (\varphi) + sin^2 (\varphi)) = ||grad f||^2 (1) = ||grad f||^2 [/mm] qed

Allerdings gilt das ja nur, wenn alle Vektoren v, w, und grad f in einer Eben liegen. Also gilt es uneingeschränkt nur für den $ [mm] \IR^2 [/mm] $.

Ich glaube, so müsste es stimmen, aber ich würd mich freuen, wenn mir das jemand bestätigen könnte :)

thx
B



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Beweis Richtungs-Abl. Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:42 Mo 25.04.2011
Autor: Blech

Hi,

ich nehm mal an, daß [mm] $\varphi$ [/mm] der Winkel zw. Dem Gradienten [mm] $\nabla [/mm] f$ und v sein soll. Aber wieso dann [mm] $\frac [/mm] 32 [mm] \pi -\varphi$? [/mm] Mein geometrisches Vorstellungsvermögen ist um die Uhrzeit zerschossen, aber zw. den beiden muß doch kein rechter Winkel sein (z.B. [mm] $\varphi=\frac \pi [/mm] 4$).


Es geht auch direkt mit Vektoren:

OBdA gelte [mm] $\|v\|_2=\|w\|_2=1$ [/mm]

Dann ist die Richtungsableitung [mm] $D_v(f)=\nabla f^t [/mm] v$ (hier würde sonst die Länge von v wegnormiert. Ich wollte nur nicht die Normierung die ganze Zeit mit mir rumschleppen)

Also ist [mm] $D_v^2(f)+D_w^2(f)=(\nabla f^t v)^2+(\nabla f^t w)^2 [/mm] = [mm] \nabla f^tvv^t\nabla f+\nabla f^tww^t\nabla f=\nabla f^t(vv^t+ww^t)\nabla [/mm] f$

[mm] ($\nabla [/mm] f^tv$ ist eine reelle Zahl, also ist [mm] $\nabla f^tv=v^t\nabla [/mm] f$)

Sind nun v und w orthogonal, so ist
[mm] $(vv^t+ww^t)\nabla f=\nabla [/mm] f$, also

[mm] $\nabla f^t(vv^t+ww^t)\nabla f=\nabla f^t \nabla [/mm] f$

ciao
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Beweis Richtungs-Abl. Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 Mo 25.04.2011
Autor: BarneyS

Zwischen v und w ist ein rechter Winkel.

$ [mm] \varphi [/mm] $ ist der Winkel zwischen $ grad f $ und v.

Dann ist der Winkel zwischen $ grad f $ und w doch $ [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] - [mm] \varphi [/mm] $. Und für die Berechnung müsste es doch egal sein, ob man den kleineren Winkel oder $ [mm] 2\pi [/mm] $ minus den kleineren Winkel nimmt... oder?

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Bezug
Beweis Richtungs-Abl. Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Mo 25.04.2011
Autor: Blech

Aber wenn w in die entgegengesetzte Richtung zeigen würde, hättest Du da ein "-" übersehen, oder? Spielt nur hier keine Rolle, weil quadriert wird.

ciao
Stefan

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Beweis Richtungs-Abl. Gradient: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Di 26.04.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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