Beweis,R² soll ein Körper sein < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
| Aufgabe | In R x R [mm] (\IR²) [/mm] sind die Verknpüfungen + und [mm] \* [/mm] mit (a,b) + (c,d) deffiniert durch (a+c, b+d).
Für [mm] \* (a,b)\*(c,d) [/mm] := (ac-bd,ad+bc). Aus der LA ist bekannt, dass [mm] (\IR²,+) [/mm] eine abelsche Gruppe ist.
Zeigen Sie, dass [mm] (\IR²,+,\*) [/mm] ein Körper ist |
Hallo,
dies ist meine nächste Hürde die es zu überwinden gilt :)
So was ähnliches habe ich schon einmal bewiesen mit [mm] (\IR,\overline{0},\overline{1}).
[/mm]
Damals habe ich eine Tabelle gezeichnet mit
+ [mm] \overline{0} \overline{1}
[/mm]
[mm] \overline{0}
[/mm]
[mm] \overline{1}
[/mm]
für die Addition
und dann entsprechend ausgefüllt... Analog dazu die Tabelle für die Multiplikation.
Nur bei dieser Aufgabe hier komme ich irgendwie nicht weiter.
Ich weiß, dass für eine Abelsche Gruppe die Axiome der Addition alle erfüllt sein müssen. Heißt das ich kann diese hier überspringen?
und wie beweise ich den Rest? :)
Dank im Voraus !
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Hallo Paul,
gut, du sollst also zeigen, dass [mm] $(\IR^2,+,\cdot{})$ [/mm] ein Körper ist.
Dass [mm] $(\IR^2,+)$ [/mm] ne abelsche Gruppe ist, weißt du auch, brauchste also nicht mehr zu zeigen
Bleibt zum einen zu zeigen, dass [mm] $(\IR^2\setminus\{(0,0)\},\cdot{})$ [/mm] eine abelsche Gruppe ist und zum anderen, dass die Distributivgesetze gelten
Weise "einfach" stur die Axiome nach und benutze dabei die obige Definition von [mm] \cdot{}
[/mm]
Dabei kannst du natürlich dann auf bekannte Rechenregeln in [mm] \IR [/mm] zurückgreifen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
"Bleibt zum einen zu zeigen, dass [mm] $(\IR^2\setminus\{(0,0)\},\cdot{})$ [/mm] eine abelsche Gruppe ist"
abelsch? Abelsch heißt doch, es werden die Axiome der Addition alle erfüllt oder? und ich muss ja hier jetzt "nur noch" die Multiplikation + Distributivgesetzt beweisen...
Edit:
Bitte gib mir einen Hinweis.. Ich komme nicht drauf.
Das erste Axiom der Multiplikation besagt:
Für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] gilt ab = ba (Kommutativgesetz)
Aber wie beweise ich dieses Axiom in meinem Fall?
Danke
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Hallo Paul,
> "Bleibt zum einen zu zeigen, dass
> [mm](\IR^2\setminus\{(0,0)\},\cdot{})[/mm] eine abelsche Gruppe
> ist"
>
> abelsch? Abelsch heißt doch, es werden die Axiome der
> Addition alle erfüllt oder? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
wie kommst du denn darauf? Abelsch heißt kommutativ
>und ich muss ja hier jetzt "nur
> noch" die Multiplikation + Distributivgesetzt beweisen...
>
> Edit:
> Bitte gib mir einen Hinweis.. Ich komme nicht drauf.
> Das erste Axiom der Multiplikation besagt:
> Für alle a,b [mm]\in \IR[/mm] gilt ab = ba (Kommutativgesetz)
> Aber wie beweise ich dieses Axiom in meinem Fall?
>
> Danke
Die Gruppenaxiome sollten alle in deinem Skript/Mitschrift stehen.
(i) Abgeschlossenheit von [mm] $\IR^2\setminus\{(0,0)\}$ [/mm] bzgl. [mm] \cdot{}
[/mm]
(ii) Assoziativität von [mm] \cdot{} [/mm] in [mm] $\IR^2\setminus\{(0,0)\}$
[/mm]
(iii) Existenz eines neutralen Elementes bzgl. [mm] \cdot{} [/mm] in [mm] $\IR^2\setminus\{(0,0)\}$
[/mm]
(iv) Jedes Element in [mm] $\IR^2\setminus\{(0,0)\}$ [/mm] hat ein Inverses in [mm] $\IR^2\setminus\{(0,0)\}$
[/mm]
(v) [mm] \cdot{} [/mm] ist kommutativ in [mm] $\IR^2\setminus\{(0,0)\}$
[/mm]
Dann noch die Distributivgesetze
Ich hoffe, ich habe nix vergessen, schaue nochmal im Skript nach...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
oje sorry... gut, nun weiß ich Abelsch = Kommutativ.
Dennoch komme ich durcheinander nun :(
Ich muss zeigen, dass alle die Axiome der Addition sowie alle Axiome der multiplikation gelten... - Bis auf die 2 Axiome für Kommutativ.
Ja, im Skript stehen die Axiome.. Aber diese sind alle für a,b,c aus [mm] \IR
[/mm]
und ich kann die Beweise nicht auf [mm] \IR^2 [/mm] übertragen :(
Daher meine Frage...
z.B. für Axiom: Für alle a,b,c [mm] \in \IR [/mm] gilt (a+b) +c = a + (b +c)
Hoffe Du weißt nun was ich meine.
Gruß und danke
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Hallo,
na, du hattest doch im Aufgabentext geschrieben, dass ihr in LA schon gezeigt habt, dass [mm] $(\IR^2,+)$ [/mm] eine abelsche Gruppe ist.
Dann ist der Kram mit + doch schon erledigt.
Du musst dich nun um [mm] $(\IR^2\setminus\{(0,0)\},\cdot{})$ [/mm] kümmern,
also um [mm] \IR^2 [/mm] ohne das neutrale Element aus [mm] $(\IR^2,+)$, [/mm] also ohne $(0,0)$
Ich schreibs mal für die Assoziativität formal auf, was du zeigen musst:
[mm] $\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\in\IR^2\setminus\{(0,0)\}$ [/mm] : [mm] $\left[(x_1,y_1)\cdot{}(x_2,y_2)\right]\cdot{}(x_3,y_3)=(x_1,y_1)\cdot{}\left[(x_2,y_2)\cdot{}x_3,y_3)\right]$
[/mm]
Nimm dir also [mm] $(x_i,y_i)\in\IR^2$ [/mm] her mit [mm] $(x_i,y_i)\neq [/mm] (0,0)$ und zeige das, was da formal steht.
Wie [mm] $(x_1,y_1)\cdot{}(x_2,y_2)$ [/mm] definiert ist, steht ja in der Aufgabenstellung
Genauso mit den anderen Axiomen...
Nun klar, was zu tun ist?
LG
schachuzipus
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