Beweis Projektion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Do 22.06.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | | Sei V ein Euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei P: V [mm] \to [/mm] V eine Projektion, d.h. P [mm] \circ [/mm] P = P. Zeigen Sie: P ist selbstadjungiert genau dann, wenn Bild (P) [mm] \perp [/mm] Kern (P). |
Hallo,
ich denke, dieser Beweis kann gar nicht so schwer sein, aber irgendwie komme ich hier nicht auf den richtigen ansatz, hab schon einiges versucht, aber bringt mit alles nicht. Würde mich freuen, wenn mir einer erklären könnte, wie ich das beweisen kann!
Lg,
Sherin
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Hallo Sherin,
solche Aufgaben kann man meist streng formal beweisen. Wichtig ist es, sich über die voraussetzungen klar zu werden und diese geschickt einzusetzen.
Eine richtung ist recht leicht zu zeigen, nämlich
P selbstadjungiert [mm] $\Rightarrow \ker P\perp \operatorname{im} [/mm] P$
zu zeigen ist also, dass unter den gegebenen voraussetzungen $(v,w)=0$ gilt sobald [mm] $v\in \operatorname{im} [/mm] P$, also $v=Pu$ für ein [mm] $u\in [/mm] V$, und [mm] $w\in \ker [/mm] P$, also $Pw=0$.
Wenn du das einmal einsetzt und noch beachtest, dass $P$ selbstadjungiert ist, also $(v,Pw)=(Pv,w), [mm] \forall v,w\in [/mm] V$, bist du schon fast fertig.... 
Die Rückrichtung ist ein bißchen schwieriger, aber durchaus auch machbar.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 22.06.2006 | | Autor: | alx3400 |
Hallo,
also schonmal danke für den Denkanstoss zu dieser Aufgabe. Wenn allerdings noch jemand einen Ansatz zur Rückrichtung des Beweises hätte, wäre es gut, wenn er das hier mal schreiben könnte.
Besten Danke schonmal.
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Hallo,
also zu zeigen ist : $(v,Pw)=(Pv,w), [mm] \forall v,w\in [/mm] V$ oder auch $(v,Pw)-(Pv,w)=0$
Also
[mm] $(v,Pw)-(Pv,w)=(\underbrace{v-Pv}_{\in \ker P},\underbrace{Pw}_{\in \operatorname{im}P})+(Pv,Pw)-(Pv,w)=....$
[/mm]
Kriegst Du das jetzt hin?
Gruß
Matthias
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