Beweis Potenz-/Wurzelgesetze < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe hier mal 'nen kurzen Beweis und möchte wissen ob dieser ausreichend ist:
1. Zeige, dass [mm] \IR^{+}\to\IR^{+}, [/mm] x [mm] \mapsto x^r [/mm] wohldefiniert ist, also nicht von der gewählten Darstellung von [mm] r=\bruch{p}{q} [/mm] mit p Element [mm] \IZ, [/mm] q Element [mm] \IZ\setminus\{0\} [/mm] abhängt.
Ich sage, dass [mm] x^r [/mm] also [mm] x^\bruch{p}{q} [/mm] und somit [mm] \wurzel[q]{x^p} [/mm] ist.
Mit [mm] r=\bruch{p}{q}=\bruch{p^'}{q^'} [/mm] , genau dann wenn [mm] p^{'}=p*k [/mm] und [mm] q^{'}=q*k [/mm] , [mm] \forall k\in\IN\setminus\{0\}
[/mm]
Somit ist [mm] x^{\bruch{p}{q}} [/mm] wohldefiniert, wenn [mm] x^{\bruch{p}{q}}=x^{\bruch{p^'}{q^'}}
[/mm]
Also zeige ich: [mm] x^{\bruch{p^'}{q^'}}=\wurzel[q^']{x^{p^{'}}}=\wurzel[q*k]{x^{p*k}}=\wurzel[q]{\wurzel[k]{x^{p*k}}}=\wurzel[q]{\wurzel[k]{(x^{p})^k}}=\wurzel[q]{x^{p}}=x^{\bruch{p}{q}}, [/mm] und somit ist die Abbildung wohldefiniert.
Geht das so/reicht das als Beweis?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:09 Di 02.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe hier mal 'nen kurzen Beweis und möchte wissen ob
> dieser ausreichend ist:
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> 1. Zeige, dass [mm]\IR^{+}\to\IR^{+},[/mm] x [mm]\mapsto x^r[/mm]
> wohldefiniert ist, also nicht von der gewählten Darstellung
> von [mm]r=\bruch{p}{q}[/mm] mit p Element [mm]\IZ,[/mm] q Element
> [mm]\IZ\setminus\{0\}[/mm] abhängt.
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> Ich sage, dass [mm]x^r[/mm] also [mm]x^\bruch{p}{q}[/mm] und somit
> [mm]\wurzel[q]{x^p}[/mm] ist.
> Mit [mm]r=\bruch{p}{q}=\bruch{p^'}{q^'}[/mm] , genau dann wenn
> [mm]p^{'}=p*k[/mm] und [mm]q^{'}=q*k[/mm] , [mm]\forall k\in\IN\setminus\{0\}[/mm]
>
Das: " [mm] \forall k\in\IN\setminus\{0\}" [/mm] ist Unsinn !
Schreibe besser:
Mit [mm]r=\bruch{p}{q}=\bruch{p^'}{q^'}[/mm] , genau dann wenn [mm]p^{'}=p*k[/mm] und [mm]q^{'}=q*k[/mm] , mit einem [mm] k\in\IN\setminus\{0\}
[/mm]
Ansonsten ist alles in Ordnung
FRED
> Somit ist [mm]x^{\bruch{p}{q}}[/mm] wohldefiniert, wenn
> [mm]x^{\bruch{p}{q}}=x^{\bruch{p^'}{q^'}}[/mm]
>
> Also zeige ich:
> [mm]x^{\bruch{p^'}{q^'}}=\wurzel[q^']{x^{p^{'}}}=\wurzel[q*k]{x^{p*k}}=\wurzel[q]{\wurzel[k]{x^{p*k}}}=\wurzel[q]{\wurzel[k]{(x^{p})^k}}=\wurzel[q]{x^{p}}=x^{\bruch{p}{q}},[/mm]
> und somit ist die Abbildung wohldefiniert.
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> Geht das so/reicht das als Beweis?
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> Vielen Dank im Voraus
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