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| Aufgabe | Sei V ein normierter Vektorraum und seien S, T : V [mm] \rightarrow [/mm] V stetige lineare Abbildungen.
Zeige, dass dann ST − TS [mm] \not= [/mm] Id gilt.
Hinweis: Aus ST − TS = Id leite man [mm] ST^{n+1} [/mm] − [mm] T^{n+1}S [/mm] = (n + [mm] 1)T^{n} [/mm] für alle n [mm] \in [/mm] N per Induktion her. Dann folgere man aus ||S||, ||T|| < [mm] \infty, [/mm] dass [mm] ||T^{n}|| [/mm] = 0 für ein n [mm] \in [/mm] N gelten
muss, und nutze dies, um im Widerspruch zur Voraussetzung T = 0 zu zeigen. |
Guten Tach ich habe zum letzten Schritt eine Frage weil da steh ich offensichtlich auf dem Schlauch.
Also ich habe die Induktion gezeigt und habe auch gezeigt das [mm] ||T^{n}|| [/mm] = 0 für ein n [mm] \in [/mm] N.
Dazu nehme ich an das [mm] ||T^{n}|| \not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N. Dann schreibe ich die Normen auseinander und nutze die Dreiecksungleichung für Normen um dann am ende auf n+1 [mm] \le [/mm] 2*||S||*||T||. Das ist ein Widerspruch weil ||S||*||T||< [mm] \infty [/mm] ich für n aber einsetzen kann was ich will [mm] \Rightarrow \infty \le [/mm] 2*c mit c [mm] \in [/mm] N Widerspruch.
Nun soll ich ja noch zeigen das das dazu für das T=0 ist. Also [mm] ||T^{n}||= [/mm] 0 für ein [mm] n_{0} \gdw T^{n}=0 [/mm] für ein [mm] n_{0}. [/mm] Ich hätte jetzt gedacht da ich n beliebig wählen kann wähle ich n=1. dann müsste [mm] T^1 [/mm] =0 [mm] \gdw [/mm] T=0. Wie kann man den letzten schluss ziehen. Danke für die Antworten
Einen schönen Tach noch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Sa 16.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Warum gilt für ein beliebiges n [mm] T^n=0? [/mm] Das wäre ein Widerspruch zu deinem Induktionsbeweis, dass [mm] ST^{n+1}-T^{n+1}S=(n+1)T^{n}.
[/mm]
Das ist auch der Schlüssel zu dem letzten Schritt. Wenn es ein [mm] n\in\IN [/mm] gibt, so dass [mm] T^{n+1}=0, [/mm] dann gibt es auch ein kleinstes [mm] n_{0} [/mm] mit [mm] T^{n_{0}+1}=0. [/mm] Insbesondere gilt dann, da [mm] n_{0} [/mm] minimal ist, dass [mm] T^{n_0}\not=0.
[/mm]
Dann hat man mit [mm] n_{0} [/mm] ein n gefunden, so das [mm] ST^{n+1}-T^{n+1}S=(n+1)T^{n} [/mm] nicht gilt - Widerspruch.
Gruß,
dormant
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Also das [mm] T^{n} [/mm] = 0 für ein beliebiges n gilt schließe ich ja daraus das [mm] ||T^{n}||=0 [/mm] für ein beliebiges n. Und eine Norm wird genau dann Null wenn das was Drinsteht 0 ist. Das ist ja eine Eigenschaft der Norm. Das das überhaupt gilt schließe ich aus dem Widerspruch [mm] \infty [/mm] <= 2*||S|| * ||T|| < [mm] \infty. [/mm] Siehe meinen ANfangsartikel
Der Widerspruch den du herleitest ist logisch, würde wohl auch reichen, aber ich soll ja zeigen das T=0 ist.
Ich danke schon mal für die schnelle Antwort
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 So 17.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich fasse noch mal zusammen, wie ich das beweisen würde:
i) Aus der Annahme ST-TS=Id folgt, dass für alle [mm] n\in\IN ST^{n+1}-T^{n+1}S=(n+1)T^{n}.
[/mm]
ii) Aus |S|, |T| endlich (und ST-TS=Id vielleicht, ich weiß nicht wie du es bewiesen hast) folgt T ist nilpotent, d.h. es gibt ein kleinstes [mm] k\in\IN [/mm] mit [mm] T^{k+1}=0 [/mm] und [mm] T^{k}\not=0. [/mm] Das gilt nicht für ALLE k, weil sonst ist einfach T=0 und da wäre nichts zu beweisen.
iii) Setze das k aus ii) in i) ein: [mm] 0=(n+1)T^{k}\not=0, [/mm] Widerspruch zur Annahmen ST-TS=Id, womit der Beweis komplett ist.
> Der Widerspruch den du herleitest ist logisch, würde wohl
> auch reichen, aber ich soll ja zeigen das T=0 ist.
Das bedeutet einen Zwischenschritt zu machen:
zwei-einhalb) Die einzige Matrix T, die i) und ii) erfüllt ist T=0. Angenommen [mm] T\not=0, [/mm] dann..
...dann macht man bei iii) weiter und überzeugt sich, dass T=0 gelten muss, womit die Sache fertig ist.
Gruß,
dormant
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