Beweis Lösungen liegen imKreis < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:15 Mo 09.11.2009 | | Autor: | together |
| Aufgabe | Seien n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} und [mm] a_{i} \in \IC [/mm] mit [mm] |a_{i}|< [/mm] 1. Sei [mm] P(z)=z^n+a_{1}z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_{n}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass alle Lösungen von P(z)=0 innerhalb des Kreises |z|=n liegen.
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Hallo zusammen,
wie führe ich solch einen Beweis?
Mit vollständiger Induktion?
Und ich dachte, da [mm] |a_{i}|< [/mm] 1, kann die 1 in P(z) nicht vorkommen....aber das scheint ja falsch zu sein.
Ich bin für Tipps dankbar.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum oder keinen anderen Internetseiten gestellt.
VG
together
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Sei [mm]P(z)=0[/mm]. Wenn [mm]|z|\ge 1[/mm] ist, dann ist [mm] $$|z|^n=|P(z)-z^n|=\left|\sum_{i=0}^{n-1}a_iz^i\right|\le\sum_{i=0}^{n-1}|a_i||z|^i<\sum_{i=0}^{n-1}|z|^i\le n|z|^{n-1}$$ [/mm] Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Mo 09.11.2009 | | Autor: | together |
> Sei [mm]P(z)=0[/mm]. Wenn [mm]|z|\ge 1[/mm] ist, dann ist
> [mm]|z|^n=|P(z)-z^n|=\left|\sum_{i=0}^{n-1}a_iz^i\right|\le\sum_{i=0}^{n-1}|a_i||z|^i<\sum_{i=0}^{n-1}|z|^i\le n|z|^{n-1}[/mm]
> Gruß, Robert
Und das reicht als Beweis?
VG
together
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Mo 09.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]P(z)=0[/mm]. Wenn [mm]|z|\ge 1[/mm] ist, dann ist
> >
> [mm]|z|^n=|P(z)-z^n|=\left|\sum_{i=0}^{n-1}a_iz^i\right|\le\sum_{i=0}^{n-1}|a_i||z|^i<\sum_{i=0}^{n-1}|z|^i\le n|z|^{n-1}[/mm]
> > Gruß, Robert
>
> Und das reicht als Beweis?
Na, klar
Robert hat gezeigt: aus $|z| [mm] \ge [/mm] 1$ folgt $|z| [mm] \le [/mm] n$
Ist $|z| < 1$ , so ist trivialerweise $|z| [mm] \le [/mm] n$
FRED
>
> VG
> together
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Mo 09.11.2009 | | Autor: | together |
Vielen Dank an euch!
VG
together
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 10.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
ach und da muss man jetzt gar nichts mehr auflösen oder so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Di 10.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Nein
FRED
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