Beweis Lip ist Banachraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Di 04.01.2011 | | Autor: | huzein |
| Aufgabe | Man betrachte den Lipschitzraum
[mm] $$Lip:=Lip([0,1]]:=\{x\in C([0,1]):\exists\: L\geq 0\: \forall\: s,t\in [0,1]:\|x(s)-x(t)\|\leq L|s-t|\}.$$ [/mm]
Auf $Lip$ sei die folgende Norm definiert
[mm] $$\|x\|_{Lip}:=[x]_{Lip}+|x(0)|,$$
[/mm]
wobei [mm] $[x]_{Lip}:=\min\{L\geq0:\forall\: s,t\in [0,1]:\|x(s)-x(t)\|\leq L|s-t|\}.$
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $(Lip,\|\cdot\|_{Lip})$ [/mm] vollständig ist. |
Mein Vorgehen bisher:
Sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Cauchy-Folge in $Lip$ und sei [mm] $x\in [/mm] Lip$. Zu zeigen: [mm] $x_n$ [/mm] konvergiert gegen $x$ bzgl. [mm] $\|\cdot\|_{Lip}$.
[/mm]
Es ist
[mm] \|x_n-x\|_{Lip} [/mm] = [mm] [x_n-x]_{Lip}+|(x_n-x)(0)| \\
[/mm]
= [mm] [x_n-x]_{Lip}+|x_n(0)-x(0)| \\
[/mm]
= [mm] \min\{L\geq0:\forall\: s,t\in[0,1]: |(x_n-x)(s)-(x_n-x)(t)|\leq L|s-t|\}+|x_n(0)-x(0)|\\
[/mm]
= [mm] \min\{L\geq0:\forall\: s,t\in[0,1]: |x_n(s)-x(s)-x_n(t)+x(t)|\leq L|s-t|\}+|x_n(0)-x(0)|\\
[/mm]
= [mm] \min\{L\geq0:\forall\: s,t\in[0,1]: |x_n(s)-x_n(t)+ x(t)-x(s)|\leq L|s-t|\}+|x_n(0)-x(0)|\\
[/mm]
[mm] \leq \underbrace{\min\{L\geq0:\forall\: s,t\in[0,1]: |x_n(s)-x_n(t)|\leq L|s-t|\}}_{=:L_1} [/mm] + [mm] \underbrace{\min\{L\geq0:\forall\: s,t\in[0,1]: |x(s)-x(t)|\leq L|s-t|\}}_{=:L_2} [/mm] + [mm] |x_n(0)-x(0)|\\
[/mm]
= [mm] L_1+L_2 +|x_n(0)-x(0)| \\
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter.. Hoffe ihr könnt mir da ein Tipp geben..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man betrachte den Lipschitzraum
> [mm]Lip:=Lip([0,1]]:=\{x\in C([0,1]):\exists\: L\geq 0\: \forall\: s,t\in [0,1]:\|x(s)-x(t)\|\leq L|s-t|\}.[/mm]
> Auf [mm]Lip[/mm] sei die folgende Norm definiert
> [mm]\|x\|_{Lip}:=[x]_{Lip}+|x(0)|,[/mm]
> wobei [mm][x]_{Lip}:=\min\{L\geq0:\forall\: s,t\in [0,1]:\|x(s)-x(t)\|\leq L|s-t|\}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm](Lip,\|\cdot\|_{Lip})[/mm] vollständig ist.
> Mein Vorgehen bisher:
> Sei [mm](x_n)_n[/mm] eine Cauchy-Folge in [mm]Lip[/mm] und sei [mm]x\in Lip[/mm]. Zu
> zeigen: [mm]x_n[/mm] konvergiert gegen [mm]x[/mm] bzgl. [mm]\|\cdot\|_{Lip}[/mm].
das macht hier doch schon keinen Sinn. Dann wolltest Du ja zeigen, dass es in [mm] $Lip\,$ [/mm] einen Grenzwert gibt, gegen den eine jede Cauchyfolge konvergiert. D.h. bei Dir wäre [mm] $x\,$ [/mm] der "universelle Grenzwert", sozusagen "der Magnet, der die "letzten Folgenglieder" einer jeden Cauchyfolge an sich heranzieht."
Aber zwei verschiedene Cauchyfolgen können und dürfen und werden i.a. auch verschiedene Grenzwerte haben.
Und was bei Dir auch krass ist: Du läßt $x [mm] \in [/mm] Lip$ beliebig, so dass Du dann zeigen wolltest, dass dann auch schon jede Cauchyfolge gegen jedes $x [mm] \in [/mm] Lip$ konvergiert. Das kann nur schiefgehen... (Beachte: In einem normierten Raum ist die von der Norm inudzierte Metrik eben, wie der Name schon sagt, eine Metrik (nicht nur Halbmetrik!), und daher kann es stets maximal einen Grenzwert geben; in metrischen Räumen sind Grenzwerte eindeutig!)
Du musst hier versuchen, ein $x [mm] \in [/mm] Lip$ in Abhängigkeit der Cauchyfolge zu konstruieren (oder mithilfe der Cauchyfolge die Existenz eines gewissen $x [mm] \in [/mm] Lip$ nachzuweisen).
Wenn es unklar ist: Schau' nochmal nach, wie man beweist, dass die Menge aller beschränkten Funktionen eines (metrischen oder topologischen) Raumes [mm] $T\,$ [/mm] nach [mm] $\IK$ [/mm] mit der Supremumsnorm vollständig ist (z.B. in Werner, Funktionalanalysis). Dort nimmt man sich auch erstmal eine Cauchyfolge bzgl. dieser Norm her. Aber dann sagt man nicht: "Wir nehmen nun irgendeine weitere beschränkte Funktion von [mm] $T\,$ [/mm] nach [mm] $\IK$ [/mm] her und zeigen, dass die Cauchyfolge gegen diese konvergiert." - was auch gar nicht gehen kann (siehe oben), sondern man "konstruiert" erstmal eine gewisse Funktion anhand der Cauchyfolge (punktweise), zeigt dann, dass diese auch beschränkt ist und weist am Ende dann nach, dass die Cauchyfolge auch in der Tat gegen diese Funktion im Sinne der Supremumsnorm konvergiert.
Erst, wenn Du überhaupt das Prinzip, wie man die Vollständigkeit nachweist, verstanden hast, kannst Du Dich daran machen, die Aufgabe zu lösen.
Du hast hier also zu zeigen:
Wenn Du eine Cauchyfolge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $\,Lip$ [/mm] hernimmst, so existiert ein Element $x [mm] \in Lip\,,$ [/mm] und zwar in Abhängigkeit von der Cauchyfolge, gegen das [mm] $(x_n)_n$ [/mm] im Sinne der von Dir definierten Norm konvergiert. Der Existenzbeweis dieses [mm] $x\,$ [/mm] kann konstruktiver Natur sein, er kann auch evtl. aus gewissen (abstrakten) Theoremen/Lemmas/Korollars etc. folgen. Ich weiß es nicht, ehrlich gesagt. Ich weiß nur, dass Dein obiger Ansatz, um die Vollständigkeit zu beweisen, aus mindestens den zwei erwähnten Gründen unpassend war.
Gruß,
Marcel
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