Beweis Konvergenz Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgende Aussage soll bewiesen werden:
Sei [mm] a_n [/mm] eine komplexe Folge.
Wenn [mm] a_n \to [/mm] L [mm] \not= [/mm] 0, dann ist [mm] a_n \not= [/mm] 0 für fast alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo,
wir hatten obiges in unserer Vorlesung, aber irgendwie komme ich mit dem Beweis nicht klar.
Beweis:
Aus [mm] a_n \to [/mm] L [mm] \not= [/mm] 0 folgern wir [mm] |a_n| \to [/mm] |L| > 0
Mit [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{|L|}{2} [/mm] folgt weiterhin:
[mm] |a_n| \ge [/mm] |L| - [mm] |a_n-L| [/mm] > |L| - [mm] \bruch{|L|}{2} [/mm] = [mm] \bruch{|L|}{2} [/mm] > 0 für fast alle n. Insbesondere ist [mm] a_n \not= [/mm] 0 für fast alle n.
[mm] \Box
[/mm]
Mein Problem ist, dass ich diesen Teil ,, [mm] |a_n| \ge [/mm] |L| - [mm] |a_n-L| [/mm] " nicht verstehe. Was steckt dahinter?
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Hallo Blackburn,
> Folgende Aussage soll bewiesen werden:
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> Sei [mm]a_n[/mm] eine komplexe Folge.
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> Wenn [mm]a_n \to[/mm] L [mm]\not=[/mm] 0, dann ist [mm]a_n \not=[/mm] 0 für fast alle
> n [mm]\in \IN.[/mm]
> Hallo,
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> wir hatten obiges in unserer Vorlesung, aber irgendwie
> komme ich mit dem Beweis nicht klar.
>
> Beweis:
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> Aus [mm]a_n \to[/mm] L [mm]\not=[/mm] 0 folgern wir [mm]|a_n| \to[/mm] |L| > 0
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> Mit [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{|L|}{2}[/mm] folgt weiterhin:
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> [mm]|a_n| \ge[/mm] |L| - [mm]|a_n-L|[/mm] > |L| - [mm]\bruch{|L|}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{|L|}{2}[/mm] > 0 für fast alle n. Insbesondere ist [mm]a_n \not=[/mm]
> 0 für fast alle n.
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> [mm]\Box[/mm]
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> Mein Problem ist, dass ich diesen Teil ,, [mm]|a_n| \ge[/mm] |L| -
> [mm]|a_n-L|[/mm] " nicht verstehe. Was steckt dahinter?
Die umgekehrte Dreiecksungleichung, schreibe erstmal um:
[mm]|a_n|\ge |L|-|a_n-L| \ \gdw \ |a_n|-|L|\ge -|a_n-L| \ \gdw \ |L|-|a_n|\le|a_n-L|[/mm]
Dann schaue dir mal die umgekehrte Dreiecksungleichung an ...
Gruß
schachuzipus
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Ich glaube, ich habe gerade einen großes Brett vorm Kopf.
Es gilt: [mm] ||z_1| [/mm] - [mm] |z_2|| \le |z_1 \pm z_2| [/mm] für [mm] z_1, z_2 \in \IC.
[/mm]
Woher weiß ich denn, dass ||L| - [mm] |a_n|| [/mm] = |L| - [mm] |a_n| [/mm] ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube, ich habe gerade einen großes Brett vorm Kopf.
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> Es gilt: [mm]||z_1|[/mm] - [mm]|z_2|| \le |z_1 \pm z_2|[/mm] für [mm]z_1, z_2 \in \IC.[/mm]
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> Woher weiß ich denn, dass ||L| - [mm]|a_n||[/mm] = |L| - [mm]|a_n|[/mm]
> ist?
Wer hat denn gesagt, dass das gilt ?
FRED
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OMG....
Es gilt ja: [mm] ||a_n| [/mm] - |L|| [mm] \le |a_n [/mm] - L|
Das ist aber äquivalent zu:
|L| - [mm] |a_n [/mm] - L| [mm] \ge |a_n| \ge |a_n [/mm] - L| + |L|
Besten Dank für eure Hilfe.
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