Beweis Konvergenz & Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Dan86 |
| Aufgabe | Seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] zwei reelle Folgen mit positiven Gliedern
und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n}{b_n} [/mm] < unendlich.
Beweisen oder Widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
1. [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] konvergiert.
2. [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] divergiert genau dann, wenn [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] divergiert. |
Hallo Leute,
Ich habe bei dieser Aufgabe zuerst versucht Gegenbeispiele zu suchen aber keine gefunden. Also gehe ich mal davon aus, dass die Aussagen wahr sind.
Ich versuche nun jeweils zwei Richtungen zu zeigen.
Zur 1. Aufgabe
1. Wenn [mm] a_n [/mm] konvergiert, dann konvergiert [mm] b_n.
[/mm]
2. Wenn [mm] b_n [/mm] konvergiert, dann konvergiert [mm] a_n.
[/mm]
Hier habe ich die zweite Annahme, wenn [mm] b_n [/mm] konvergiert, dann konvergiert [mm] a_n [/mm] (wohl das einfache der beiden *gg*). Mit dem Majorantenkriterium gezeigt, dass es stimmt. Wie zeige ich aber die erste Annahme?
Zur 2. Aufgabe
1. Wenn [mm] a_n [/mm] divergiert, dann divergiert [mm] b_n.
[/mm]
2. Wenn [mm] b_n [/mm] divergiert, dann divergiert [mm] a_n.
[/mm]
Auch hier habe ich die zweite Annahme, wenn [mm] b_n [/mm] divergiert, dann divergiert [mm] a_n [/mm] mit dem Minoratenkriterium zeigen können. Aber bei der ersten Annahme fehler mir wieder der Ansatz.
Wäre wieder mal echt super, wenn ihr mir einen Hinweis geben könntet.
Grüße
Daniel
Ich habe diese Frage in keinem anderem Internetforum gestellt.
Edit: Ich hatte eben einen Geistesblitz und die Aufgaben jetzt alleine hinbekommen. Die Fragen haben sich für mich damit geklärt.
Grüße
Daniel
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