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| Aufgabe | Es seien (k,+,*) ein Körper und a,b element K. Nun soll ich folgendes beweisen:
Für alle n element [mm] \IN [/mm] : [mm] a^{n} [/mm] - [mm] b^{n} [/mm] = (a-b) [mm] \summe_{k=0}^{n-1} a^{k} b^{n-1-k} [/mm] |
Ich weiß, dass ich mit der rechten Seite beginnen muss. Und es mit Induktion funktioniert. Nur leider kann ich das nicht umsetzen. Bitte kann mir jemand dabei helfen bzw mit einen Ansatz geben, damit ich mal sehen kann, wie das ganze überhaupt funktioniert. Denn ich komme bei dieser AUfgabe überhaupt nicht weiter.
Danke für eure Hilfe!
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> Es seien (k,+,*) ein Körper und a,b element K. Nun soll
> ich folgendes beweisen:
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> Für alle n element [mm]\IN[/mm] : [mm]a^{n}[/mm] - [mm]b^{n}[/mm] = (a-b)
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} a^{k} b^{n-1-k}[/mm]
> Ich weiß, dass ich
> mit der rechten Seite beginnen muss. Und es mit Induktion
> funktioniert. Nur leider kann ich das nicht umsetzen. Bitte
> kann mir jemand dabei helfen bzw mit einen Ansatz geben,
> damit ich mal sehen kann, wie das ganze überhaupt
> funktioniert. Denn ich komme bei dieser AUfgabe überhaupt
> nicht weiter.
ohne Induktion:
Es würde auch ohne Induktion gehen, falls du die Identität
[mm]x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1 = \frac{x^n -1}{x-1}[/mm]
verwenden darfst.
mit Induktion:
Induktion über n:
Den Induktionsanfang führst du über [mm]n=1\;[/mm], also
[mm](a-b)\sum_{k=0}^{1}{a^kb^{n-k}}=\ldots = a^2-b^2[/mm]
Induktionsschritt [mm]n\to n+1[/mm]
Sei also die Behauptung für [mm]n[/mm] wahr und es gelte
[mm]a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}{a^kb^{n-1-k}}[/mm]
z.z.:
[mm]a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum_{k=0}^{n}{a^kb^{n-k}}[/mm]
dazu zerlege die Summe auf der rechten Seite (letzten Summanden herausziehen)
mit einer kleinen Umformung solltest du dann die Summe auf die Gestalt
[mm]\sum_{k=0}^{n-1}{a^kb^{n-1-k}}[/mm]
wieder bringen und die Induktionsvoraussetzung anwenden. Das klappt schon.
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