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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Fr 08.10.2010 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Es seien $(X,d)$ und $(X',d')$ zwei metrische Räume. Eine Abbildung [mm] $f:X\rightarrow [/mm] X'$ heißt isometrische Abbildung von $(X,d)$ nach $(X',d')$, wenn
$d(x,y)=d'(f(x),f(y)))$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$
gilt. Die Räume $(X,d)$ und $(X',d')$ heißen isometrisch, wenn es eine isometrische Abbildung von einem der beiden Räume auf den anderen gibt.
(a) Weisen Sie nach, dass eine isometrische Abbildung injektiv ist.
(b) Zeigen Sie, dass [mm] (\IR^{2},d_{2}) [/mm] und [mm] (\IR,d_{1}), [/mm] jeweils ausgerüstet mit der euklidischen Metrik, nicht isometrisch sind.
(c)Finden Sie eine Metrik: $d': [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR \rightarrow \IR$, [/mm] sodass die Räume (X,d) mit X=(-1,1), d(x,y)=|x-y| und (R,d') isometrisch sind. |
Hallo,
ich komme mit Teil (b) nicht so recht weiter. (a) habe ich bereits gefunden und (c) würde ich |sinh(f(x))-sinh(f(y))| vorscchlagen mit [mm] f(x)=sinh^{-1}(X), [/mm] doch bei (b) bin ich etwas ratlos.
Ich habe mir die Aufgabe mal anschaulicher aufgeschrieben.
[mm] \wurzel{|x_{1}-y_{1}|^{2}+|x_{2}-y_{2}|^{2}}=|f(x_{1},x_{2})-f(y_{1},y_{2})|
[/mm]
Nun darf es keine Abbildung f geben, so dass die Gleichung erfüllt ist. Wie zeige ich das?
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Fr 08.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es seien [mm](X,d)[/mm] und [mm](X',d')[/mm] zwei metrische Räume. Eine
> Abbildung [mm]f:X\rightarrow X'[/mm] heißt isometrische Abbildung
> von [mm](X,d)[/mm] nach [mm](X',d')[/mm], wenn
>
> [mm]d(x,y)=d'(f(x),f(y)))[/mm] für alle [mm]x,y\in X[/mm]
>
> gilt. Die Räume [mm](X,d)[/mm] und [mm](X',d')[/mm] heißen isometrisch,
> wenn es eine isometrische Abbildung von einem der beiden
> Räume auf den anderen gibt.
>
> (a) Weisen Sie nach, dass eine isometrische Abbildung
> injektiv ist.
> (b) Zeigen Sie, dass [mm](\IR^{2},d_{2})[/mm] und [mm](\IR,d_{1}),[/mm]
> jeweils ausgerüstet mit der euklidischen Metrik, nicht
> isometrisch sind.
> (c)Finden Sie eine Metrik: [mm]d': \IR x \IR \rightarrow \IR[/mm],
> sodass die Räume (X,d) mit X=(-1,1), d(x,y)=|x-y| und
> (R,d') isometrisch sind.
>
> Hallo,
>
> ich komme mit Teil (b) nicht so recht weiter. (a) habe ich
> bereits gefunden und (c) würde ich |sinh(f(x))-sinh(f(y))|
> vorscchlagen mit [mm]f(x)=sinh^{-1}(X),[/mm] doch bei (b) bin ich
> etwas ratlos.
Weder die Funktion sinh noch ihre Umkehrfunktion bilden das Intervall $(-1,1)$ auf [mm] $\IR$ [/mm] ab. Ich vermute, du meinst tanh. (Eine Isometrie ist bijektiv.)
> Ich habe mir die Aufgabe mal anschaulicher aufgeschrieben.
>
> [mm]\wurzel{|x_{1}-y_{1}|^{2}+|x_{2}-y_{2}|^{2}}=|f(x_{1},x_{2})-f(y_{1},y_{2})|[/mm]
>
> Nun darf es keine Abbildung f geben, so dass die Gleichung
> erfüllt ist. Wie zeige ich das?
Wenn du [mm] $(y_1,y_2)=(0,0)$ [/mm] einsetzt, legt das deine Abbildung schon weitgehend fest. Was kannst du daraus weiter folgern? (Tipp: O.B.d.A. kannst du $f(0,0)=0$ setzen, denn mit der euklidischen Metrik ist eine Verschiebung immer eine Isometrie.)
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Fr 08.10.2010 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe. mit tanh hast du natürlich recht und deine Tipps zu b) waren echt super :)
Mit freundlichen Grüßen
DerGraf
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