Beweis Infimum einer Teilmenge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 So 24.10.2010 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
gerade sitze ich ein wenig ratlos vor einem Beweis. Und zwar soll ich beweisen, dass jede nach unten beschränkte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ein Infimum in [mm] \IR [/mm] besitzt. Nunja, mir fehlt dazu irgendwie jedglicher Ansatz.
Meine Überlegung war bisher eine beliebige Teilmenge in [mm] \IR [/mm] zu nehmen, also beispielsweise M [mm] \subset \IR [/mm] und dann infM = a zu setzen. Ebenfalls soll ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existieren. Man weiß dann ja im Prinzip, dass ein x [mm] \in \IR [/mm] mit x < a + [mm] \varepsilon [/mm] existiert, oder?
Aber wie kann ich das ganze nun beweisen... Bin grad ein wenig überfordert...
Danke schonmal im Voraus für eure Antworten!
Liebe Grüße,
Pia
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Hallo Pia,
versuchs mal dem Intervallschachtelungsprinzip 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 So 24.10.2010 | | Autor: | Pia90 |
Mit Intervallschachtelungsprinzip kann ich leider nicht wirklich was anfangen... Ich habe das Gefühl, dass mir viele wichtige Dinge fehlen, um das zu beweisen... fängt ja super an mein Studium...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 So 24.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib auf, was inf(M)[mm]M\subset \IR \mbox{ bedeutet.und was nach unten beschränkt bedeutet.
Dann nimm an es gibt kein inf. und erarbeite einen Widerspruch.}[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:33 Di 26.10.2010 | | Autor: | Pia90 |
Danke!!!
So, also ich habe nun wie folgt angefangen:
Sei M [mm] \subset \IR [/mm] eine nach unten beschränkte Menge und [mm] a_{0} [/mm] untere Schranke von M. Dann ist [mm] a_{0} [/mm] genau dann infM, wenn gilt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] M: a< [mm] a_{0} [/mm] + [mm] \varepsilon.
[/mm]
[mm] Annahme:\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] M: a< [mm] a_{0} [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] stimmt nicht.
Dann gilt: [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M: a [mm] \ge a_{0} [/mm] + [mm] \varepsilon.
[/mm]
Somit wäre [mm] a_{0} [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] ebenfalls untere Schranke für M. Also ist [mm] a_{0} [/mm] nicht das Infimum.
Soweit, sogut... jetzt muss ich ja noch die andere Richtung zeigen, bin mir da aber sehr unsicher bzw. hänge da grad... Also
Für die umgekehrte Richtung sei [mm] a_{0} [/mm] kein Infimum von M. Dann gibt es also eine untere Schranke b > [mm] a_{0} [/mm] von M.(ist das so richtig?)
Setze [mm] \varepsilon [/mm] := [mm] a_{0} [/mm] + b >0. Dann gilt für jedes a [mm] \in [/mm] M (ja und hier hab ich gerade ein Brett vorm Kopf... oder liegt mein Fehler schon früher....)
LG Pia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Pia90 |
So, noch eine kleine Ergänzung:
Setze [mm] \varepsilon [/mm] := [mm] a_{0}+ [/mm] b >0. Dann gilt für jedes a [mm] \in [/mm] M:
a [mm] \ge [/mm] b = [mm] a_{0}+ \varepsilon [/mm]
Aber irgendwo ist da noch ein Fehler, oder? Oh mann, ich verzweifel noch...
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Hallo Pia,
dein Ansatz wird nicht fruchten.
Du benötigst für den Beweis auf jedenfall die Vollständigkeit von [mm] \IR
[/mm]
Nun wissen wir leider nicht, mit welchem Axiom ihr das gemacht habt.
Siehe die Antwort von fred, ohne Supremumsaxiom wirst du das nicht hinbekommen.
(Der Tip mit dem Intervallschachtelungsprinzip von mir kommt daher, da man die Vollständigkeit auch darüber einführen kann, dann folgt das "Supremumsaxiom" aber daraus, was man auch beweisen kann.
Das habt ihr bestimmt auch gemacht!)
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:35 Do 28.10.2010 | | Autor: | Pia90 |
Danke für deine Antwort...
Ich merke ich bin mit dem Beweis vollkommen überfordert :)
Das Supremumsaxiom hatten wir... vielleicht werd ich mich nochmal wann anders an den Beweis ranwagen, in einem ruhigen Moment :) So komm ich auf jeden Fall kein bisschen weiter... naja was solls
LG Pia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:43 Do 28.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Wenn ihr das Supremumsaxiom hattet, dann steht in Fred's Antwort ja eigentlich alles schon drin....
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:31 Mo 25.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Ihr hattet doch sicher das Vollständigkeitsaxiom (oder Supremumsaxiom):
(*) jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] besitzt ein Supremum in [mm] \IR
[/mm]
Ist nun M [mm] \subseteq \IR [/mm] nicht leer und nach unten beschränkt, so betrachte
[mm] $A:=\{ -m: m \in M\}$
[/mm]
Zeige, dass A nach oben beschränkt ist und wende (*) auf A an.
FRED
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