Beweis Identität < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:23 Sa 12.02.2011 | | Autor: | Sunny1508 |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie die Identität: [mm] =\wurzel{n^{2}+2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Berechnen Sie das Legendre-Symbol [mm] (\bruch{-61}{19}). [/mm] |
hallo alle zusammen
ich weiß, aufg 1 und 2 passen nicht zusammen, aber wollte wegen aufg. 2 nicht extra ein neues thema aufmachen.
Also die beiden Aufgaben waren Klausuraufg bzw. Aufg 2 kam in einer Aufgabe so vor.
Zu Nr. 1 weiß ich, dass man das mit Kettenbrüchen bzw der Formel [mm] \bruch{1}{\nu_{n}-a_{n}} [/mm] (soll ein teta sein) berechnet. habe ich auch gemacht, aber bin nicht ganz aufs richtige ergebnis gekommen. wäre auch sehr dankbar, wenn ihr mir den lösungsweg geben könntet, denn das ergebnis weiß ich ja ;)
und zu Nr 2, da sollten wir bestimmen, ob die quadratische Form durch eine zahl eigentlich darstellbar ist und dazu brauchten wir halt dieses Legendre-Symbol. Und ich wusste einfach nicht weiter. Hab es glaub auf [mm] (\bruch{-10}{19}) [/mm] runtergemoddet und wusste dann nicht, wie ich die 10 wegbekommen soll. Da wäre ich euch auch für einen Lösungsweg sehr dankbar!
Also gute Nacht und vielen vielen dank! :)
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also zu dem legendre-symbol habe ich jetzt 2 lösungen, weiß nicht genau, welche stimmt. ist [mm] -61\equiv9 [/mm] mod 19 od [mm] ist-61\equiv10mod [/mm] 19. mit 9 haut es nicht hin, mit 10 schon.
wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir nochmal antworten könntet.
und zu der identität habe ich jetzt:
wegen [mm] n^{2}
[mm] \nu_{0}= \wurzel{n^{2}+2}, [/mm]
[mm] a_{0}=n
[/mm]
[mm] \nu_{1}=\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}-n}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{n^{2}+2}+n}{2} [/mm]
[mm] a_{1}=n
[/mm]
[mm] \nu_{2}=\bruch{1}{\bruch{\wurzel{n^{2}+2}+n}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{2\wurzel{n^{2}+2}-2n}
[/mm]
[mm] =\bruch{2(2\wurzel{n^{2}+2}+2n)}{2*n^{2}+2-2n^{2}}
[/mm]
[mm] =2\wurzel{n^{2}+2}+2n [/mm]
[mm] a_{2}=2n
[/mm]
ich glaub, bei [mm] \nu_{2} [/mm] stimmt irgendwas nicht mehr. also ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir den richtigen lösungsweg geben würdet. danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Mi 16.02.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> also zu dem legendre-symbol habe ich jetzt 2 lösungen,
> weiß nicht genau, welche stimmt. ist [mm]-61\equiv9[/mm] mod 19 od
> [mm]ist-61\equiv10mod[/mm] 19. mit 9 haut es nicht hin, mit 10
> schon.
Nach allem, was ich gelernt habe, ist -61 [mm] \equiv [/mm] 15 mod 19.
> wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir nochmal antworten
> könntet.
>
> und zu der identität habe ich jetzt:
Wenn du deinen gesuchten Wert links x nennst, ergibt sich aus der Kettenbruchdarstellung
$x - n$ = [mm] \bruch{1}{n + \bruch{1}{2n + (x-n)}} [/mm] = [mm] \bruch{n+x}{n^2 + nx + 1}
[/mm]
und daraus mit ein bißchen Algebra die gesuchte Identität.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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