Beweis!Hab nur log. Begründ. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Mo 24.10.2005 | | Autor: | MissYumi |
Ich soll für die Anzahl der Elemente von Mengen beweisen:
|A u B| = |A| + |B| + |A n B|
Meine Begründung:
|A| + |B| > |A u B| , da Doppelte Elemente nicht ausgeschlossen werden.
Mann muss diese also noch abziehen miz |A n B| ... wie führe ich nun aber den Beweis.. den math. korrekten Beweis???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du meinst wohl
$|A [mm] \cup [/mm] B| = |A| + |B| - |A [mm] \cap [/mm] B|$...
Ich nehme mal an es handelt sich um endliche Mengen. Dann würde ich es stupide durch Abzählen erledigen. Im Folgenden seien innerhalb einer Menge keine Elemente doppelt genannt.
Sei $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \{x_1,\ldots,x_k\}$. [/mm] Dann gilt, wobei $m=0$ und $n=0$ zugelassen sind:
$A = [mm] \{x_1,\ldots,x_k,y_{k+1},\ldots,y_{k+m}\}$
[/mm]
und
[mm] $B=\{x_1,\ldots,x_k,z_{k+1},\ldots,z_{k+n}\}$
[/mm]
und daher:
$|A [mm] \cap [/mm] B|=k$,
$|A| = k+m$,
$|B|=k+n$,
also:
$|A [mm] \cup [/mm] B| = [mm] |\{x_1,\ldots,x_k,y_{k+1},\ldots,y_{k+m},z_{k+1},\ldots,z_{k+n}\}| [/mm] = k + m + n = (m+k) + (n+k) - k = |A| + |B| - |A [mm] \cap [/mm] B|$,
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Stefan
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