Beweis Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Di 29.04.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Sei (G, [mm] \cdot) [/mm] eine Gruppe und M eine beliebige Menge. Wir betrachten die Menge [mm] G^M [/mm] := [mm] \{f:M \to G \} [/mm] aller Abbildungen von M nach G. Für alle f,g [mm] \in G^M [/mm] definieren wir f [mm] \star [/mm] g [mm] \in G^M [/mm] folgendermaßen:
(f [mm] \star [/mm] g)(x) := f(x) [mm] \cdot [/mm] g(x) für alle x [mm] \in [/mm] M.
Zeigen Sie:
i) [mm] (G^M, \star) [/mm] ist eine Gruppe. Sie können M als nicht leer annehmen.
ii) G abelsch [mm] \Rightarrow G^M [/mm] abelsch. |
Hallo!
Wieder eine Aufgabe, die mir Probleme bereitet. Also, wenn ich das richtig sehe, muss ich zeigen, dass für [mm] (G^M, \star) [/mm] das Assoziativgesetz gilt und es zu jedem Element der Gruppe ein neutrales und Inverses Element gibt.
1) AG: f,g,h [mm] \in G^M: [/mm] (f [mm] \star [/mm] g [mm] \star [/mm] h) (x) = f(x) [mm] \cdot [/mm] g(x) [mm] \cdot [/mm] h(x). Weil [mm] \cdot [/mm] assoziativ ist, stimmt das.
2) Das neutrale Element muss die Fkt sein, die ganz M auf 1 abbildet. Die Abbildung ex. da 1 [mm] \in [/mm] G sein muss, da G selbst eine Gruppe ist.
3) Inv. El. : Auch das stimmt, da G eine Gruppe ist und zu allen Elementen von G auch die Inverse enthält. Also gibt es Inverse zu allen Bildern von f und damit kann immer eine Inverse Funktion definiert werden.
Bin ich soweit einigermaßen richtig oder total auf dem Holzpfad? Könnte ich das auch so ähnlich abgeben?
Zu ii)
Erscheint mir logisch, aber ich weiß nicht recht, wie ich es begründen soll. Ich meine wenn G abelsch ist, dann ist auch das Ergebnis der Funktionen kommutativ und ich kann genauso gut die Funktionen selbst umdrehen...
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Di 29.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei (G, [mm]\cdot)[/mm] eine Gruppe und M eine beliebige Menge. Wir
> betrachten die Menge [mm]G^M[/mm] := [mm]\{f:M \to G \}[/mm] aller
> Abbildungen von M nach G. Für alle f,g [mm]\in G^M[/mm] definieren
> wir f [mm]\star[/mm] g [mm]\in G^M[/mm] folgendermaßen:
> (f [mm]\star[/mm] g)(x) := f(x) [mm]\cdot[/mm] g(x) für alle x [mm]\in[/mm] M.
>
> Zeigen Sie:
> i) [mm](G^M, \star)[/mm] ist eine Gruppe. Sie können M als nicht
> leer annehmen.
> ii) G abelsch [mm]\Rightarrow G^M[/mm] abelsch.
> 1) AG: f,g,h [mm]\in G^M:[/mm] (f [mm]\star[/mm] g [mm]\star[/mm] h) (x) = f(x) [mm]\cdot[/mm]
> g(x) [mm]\cdot[/mm] h(x). Weil [mm]\cdot[/mm] assoziativ ist, stimmt das.
Ok
> 2) Das neutrale Element muss die Fkt sein, die ganz M auf
> 1 abbildet. Die Abbildung ex. da 1 [mm]\in[/mm] G sein muss, da G
> selbst eine Gruppe ist.
Ok
> 3) Inv. El. : Auch das stimmt, da G eine Gruppe ist und zu
> allen Elementen von G auch die Inverse enthält. Also gibt
> es Inverse zu allen Bildern von f und damit kann immer eine
> Inverse Funktion definiert werden.
Ok
> Bin ich soweit einigermaßen richtig oder total auf dem
> Holzpfad? Könnte ich das auch so ähnlich abgeben?
Wenns für die Uni ist, möchten die das wahrscheinlich exater haben, d.h. du solltest das das neutrale Element und die Inversen der Elemente aus [mm] $G^M$ [/mm] wirklich mal konstruieren und dann zeigen dass sie auch wirklich die entspr. Eigenschaft haben. Auch die Assoziativität kann man ohne viele Worte zu verlieren, knallhart beweisen.
> Zu ii)
> Erscheint mir logisch, aber ich weiß nicht recht, wie ich
> es begründen soll. Ich meine wenn G abelsch ist, dann ist
> auch das Ergebnis der Funktionen kommutativ und ich kann
> genauso gut die Funktionen selbst umdrehen...
Beweis: Seien [mm] $f,g\in G^M$ [/mm] beliebig. Dann ist für alle [mm]\forall x\in M[/mm]: [mm] $$(f\star g)(x)=f(x)\cdot g(x)\stackrel{(1)}{=}g(x)\cdot f(x)=(g\star [/mm] f)(x)$$(1) Gilt, da G abelsch war.
Du kannst dir ja auch noch überlegen ob die Umkehrung gilt, also [mm] $G^M\text{ abelsch}\Rightarrow G\text{ abelsch}$...[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Di 29.04.2008 | | Autor: | Wimme |
hallo!
Okay, danke für die ii), die war ja doch einfach ;)
Ich denke den Beweis des Neutralen Elements krieg ich hin und erspar mir hier das schreiben in Latex.
Beim Inversen bin ich mir schon unsicherer:
Schon bei der Konstruktion der Funktionen, weiß ich nicht recht, wie ich das am Besten machen soll.
Sowas wie f [mm] \in G^M [/mm] beliebig, f: M [mm] \to [/mm] G, x [mm] \to [/mm] y mit y variabel und dann mein Inverses
h: M [mm] \to [/mm] G, x [mm] \to y^{-1} [/mm] wobei [mm] y^{-1} [/mm] existiert,da G eine Gruppe ist, erscheint mir nicht ganz korrekt.
Naja, wenn das so ginge, wärs ja weiter einfach:
(f [mm] \star [/mm] h)(x) = f(x) [mm] \cdot [/mm] h(x) = y [mm] \cdot y^{-1} [/mm] = 1 und andersrum.
Zum Assoziativgesetz:
f,g,h [mm] \in G^M [/mm] beliebig.
(f [mm] \star [/mm] g [mm] \star [/mm] h)(x) = (f(x) [mm] \cdot [/mm] g(x)) [mm] \cdot [/mm] h(x) = f(x) [mm] \cdot [/mm] (g(x) [mm] \cdot [/mm] h(x)).
Etwas sehr schwammig, ich weiß nämlich nicht recht, wie diese linke Seite mit den [mm] \star [/mm] aufdröseln soll.
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Di 29.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sowas wie f [mm]\in G^M[/mm] beliebig, f: M [mm]\to[/mm] G, x [mm]\to[/mm] y mit y
> variabel und dann mein Inverses
> h: M [mm]\to[/mm] G, x [mm]\to y^{-1}[/mm] wobei [mm]y^{-1}[/mm] existiert,da G eine
> Gruppe ist, erscheint mir nicht ganz korrekt.
Ich würde schreiben: sei [mm] $f:G\ni x\mapsto f(x)\in [/mm] M$ beliebig. Betrachte nun [mm] $h:M\ni x\mapsto f(x)^{-1}\in [/mm] G$. Das ist wohldefiniert, da [mm] $f(x)\in [/mm] G$ stets ein Inverses besitzt. Dann ist für alle [mm] $x\in [/mm] M$: [mm] $(f\star h)(x)=f(x)\cdot f(x)^{-1}=1$.
[/mm]
> Naja, wenn das so ginge, wärs ja weiter einfach:
> (f [mm]\star[/mm] h)(x) = f(x) [mm]\cdot[/mm] h(x) = y [mm]\cdot y^{-1}[/mm] = 1 und
> andersrum.
>
> Zum Assoziativgesetz:
> f,g,h [mm]\in G^M[/mm] beliebig.
> (f [mm]\star[/mm] g [mm]\star[/mm] h)(x) = (f(x) [mm]\cdot[/mm] g(x)) [mm]\cdot[/mm] h(x) =
> f(x) [mm]\cdot[/mm] (g(x) [mm]\cdot[/mm] h(x)).
> Etwas sehr schwammig, ich weiß nämlich nicht recht, wie
> diese linke Seite mit den [mm]\star[/mm] aufdröseln soll.
Der Ausdruck [mm] $f\star g\star [/mm] h$ ist ziemlich sinnlos, wenn du die Assoziativität nicht hast (die willst du ja gerade beweisen). Du musst zeigen dass [mm] $(f\star g)\star h=f\star(g\star [/mm] h)$ ist.
Erst wenn die Operation erwiesenermaßen assoziativ ist, kannst du schreiben [mm] $f\star g\star [/mm] h$, da dieser Ausdruck dann sowohl als [mm] $(f\star g)\star [/mm] h$ als auch als [mm] $f\star(g\star [/mm] h)$ wegen der Assoziativität das Gleiche Ergebnis erzeugt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 29.04.2008 | | Autor: | Wimme |
meinst du so?
((f [mm] \star [/mm] g) [mm] \star [/mm] h)(x) = (f [mm] \star [/mm] g)(x) [mm] \cdot [/mm] h(x) = [mm] (f(x)\cdot g(x))\cdot h(x)=f(x)\cdot [/mm] ( [mm] g(x)\cdot [/mm] h(x)) = f [mm] \star [/mm] (g [mm] \star [/mm] h) (x)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Di 29.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Jo.
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