Beweis Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Di 18.09.2007 | | Autor: | Tinu21 |
| Aufgabe | Wie beweise ich folgende Aussagen:
(1) [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] f(x)=g , wobei g der Grenzwert ist
(2) [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] f(x)= [mm] +\infty
[/mm]
(3) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x)= g |
Zusätzlich habe ich folgenden Satz zu (1)
Eine Funktion f mit der Gleichung y=f(x) hat mit x nach a genau dann einen Grenzwert g, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] gibt, so dass gilt [mm] |f(x)-g|<\varepsilon [/mm] für [mm] |x-a|<\delta.
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Kannst Du die komplette Aufgabenstellung im Oroginalwortlaut posten? Mit Vorwort und Nachwort und auch mit den Dingen, die Dir sonst noch unwichtig erscheinen.
So wie es jetzt dasteht, kann zumindest ich mir keinen Reim drauf machen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Di 18.09.2007 | | Autor: | Tinu21 |
ich muss wie erwähnt folgendes Beweisen: [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] f(x)=g
dazu gegeben habe ich eine definition:
Eine Funktion f mit der Gleichung y=f(x) hat mit x nach a einen Grenzwert g, wenn zu allen x-Folgen, die nach a gehen, alle zugehörigen Funktionswertfolgen konvergent sind und denselben Grenzwert g haben.
zudem habe ich noch den folgenden satz, welchen ich dann auch beweisen muss:
Eine Funktion f mit der Gleichung y=f(x) hat mit x nach a genau dann einen Grenzwert g, wenn es zu jedem ε>0 ein δ>0 gibt, so dass gilt |f(x)-g| <ε für 0<|x-a | <δ
dies einfach mal zu Punkt (1). zu den anderen habe ich auch eine definition inklusive satz.
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Hallo,
gibt es einen Grund dafür, daß Du nicht den Originalwortlaut der Aufgabe 1) angibst?
So muß man die Aufgabe ja erst erraten!
Kann es sein, daß Du zeigen sollst, daß aus Deiner Grenzwertdefinition das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] folgt? Und womöglich auch umgekehrt?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Di 18.09.2007 | | Autor: | Tinu21 |
nein im gegenteil ich will hier kein ratespiel veranstalten. ist wohl so, dass ich selber nicht genau weiss, wass ich zu tun habe!
aber ich denke mit deiner vermutung, dass ich das [mm] \varepsilon-\delta- [/mm] Kriterium aus meiner definition zu zeigen habe liegts du richtig!
ich hoffe du kannst mir hierbei behilflich sein...
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Hallo,
ich will mal versuchen, Dir bei der 1) ein bißchen zu erklären, was gemeint ist.
Hier wird zuerst der Grenzwert einer Funktion an der Stelle a erklärt:
Man betrachtet eine reelle Funktion f mit dem Definitionsbereich D.
a sei ein Berührpunkt von D.
Wenn für sämtliche Folgen [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n\to [/mm] a die Folge der Funktionswerte [mm] f(x_n) [/mm] gegen denselben Wert g konvergiert, so heißt g Grenzwert der Funktion f an der Stelle a. Man schreibt [mm] \limes_{x\rightarrow a}=g.
[/mm]
Du sollst nun zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow a}=g [/mm] (s. Def.)
<==> Zu jedem ε>0 gibt es ein δ>0, so dass gilt |f(x)-g| <ε für 0<|x-a | <δ.
Anschaulich gesprochen: wenn g Grenzwert der Funktion an der Stelle a ist, und wenn man "unten", auf der x-Achse, ein ganz bißchen an a wackelt, dann wackeln die Funktionswerte nur ein bißchen um g.
Und umgekehrt: wenn ein bißchen Wackeln "unten" an nur ein bißchen Wackeln bei den Funktionswerten verursacht, hat f an der Stelle a einen Grenzwert.
Aufgemerkt: das mit dem Gewackel ist völlig unmathematisch. Es ist eine kleine Illustration, mehr nicht - und trotzdem manchmal nützlich.
Deine Aufgabe ist es nun, die konvergierenden Folgen mit den wackelnden Funktionswerten zusammenzubringen.
Nachdem nun aufgeschrieben ist, was zu zeigen ist, solltest Du das erstmal ein bißchen auf Dich wirken lassen.
Wenn Du das Gefühl hast, die Aufgabe begriffen zu haben, fang' langsam an.
Mach Dir klar, daß zwei Richtungen zu zeigen sind.
Für den Beweis kannst Du Dich inspirieren lassen vom Beweis für das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] für Stetigkeit, welches eine sehr ähnliche Aussage macht, und welchen Du sicher in Deinem Analysis-Buch findest. Daran kannst Du Dich entlanghangeln.
Wenn Du nicht weiterkommst, melde Dich mit dem, was Du bisher getan hast. Es kann Dir dann gewiß jemand weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:57 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Tinu21 |
| Aufgabe | hab das ganze mal versucht zu beweisen:
Sei [mm] (a_{n})_{(n \ge k)} [/mm] eine beliebig gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergente Folge aus D.
Behauptung: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n})=d
[/mm]
Sei ε>0 beliebig vorgegeben. Durch diese Voraussetzung existiert ein δ>0 mit
|f(x)-g| <ε für alle x∈D mit [mm] |x-x_{0} [/mm] | <δ. Zu diesem δ existiert ein n(δ) mit
[mm] |x_0-a_n [/mm] | <δ für alle n≥n(δ), also [mm] a_{n} [/mm] ∈ [mm] ]x_{0}- [/mm] δ [mm] ,x_{0}+ [/mm] δ[ für alle diese n.
Dann gilt aber [mm] |f(a_{n} [/mm] )-d| <ε für alle diese n≥n(δ), also folgt die Behauptung.
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bin ich damit auf dem richtigen weg, oder liege ich total daneben?
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> hab das ganze mal versucht zu beweisen:
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> Sei [mm](a_{n})_{(n \ge k)}[/mm] eine beliebig gegen [mm]x_{0}[/mm]
> konvergente Folge aus D.
> Behauptung: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n})=d[/mm]
> Sei
> ε>0 beliebig vorgegeben. Durch diese Voraussetzung
> existiert ein δ>0 mit
> |f(x)-g| <ε für alle x∈D mit [mm]|x-x_{0}[/mm] |
> <δ. Zu diesem δ existiert ein n(δ) mit
> [mm]|x_0-a_n[/mm] | <δ für alle n≥n(δ), also [mm]a_{n}[/mm]
> ∈ [mm]]x_{0}-[/mm] δ [mm],x_{0}+[/mm] δ[ für alle diese n.
> Dann gilt aber [mm]|f(a_{n}[/mm] )-d| <ε für alle diese
> n≥n(δ), also folgt die Behauptung.
>
> bin ich damit auf dem richtigen weg, oder liege ich total
> daneben?
Hallo,
Du bist auf dem richtigen Weg.
Hast Du es jetzt einfach so auf- bzw. abgeschrieben, oder hast Du es richtig verstanden?
Warum folgt am Ende die Behauptung?
Und was sagt Dir das bzgl des Grenzwertes [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x) [/mm] ?
Was Du unbedingt tun solltest: schreibe vor dem Beweis mal auf, was Deine Voraussetzung ist, und was Du zeigen möchtest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Tinu21 |
das ganze ist eine mischung aus abschreiben und selber formulieren!
grundsätzlich habe ich schon verstanden, um was es bei den grenzwerten geht.
der einzige unsicherheitsfaktor ist der beweis:
ich hab mal versucht deinen ratschlag zu befolgen:
Den Beweis werde ich folgendermasen ausführen. Ich will zeigen,dass wenn ich die x-Werte genügend nahe bei der Stelle [mm] x_{0} [/mm] wähle, dass dann auch die Funktionswerte gegen den Grenzwert konvergieren.
Dazu bilde ich eine Folge [mm] f(a_{n}), [/mm] welche sich der Stelle [mm] x_{0} [/mm] immer mehr nähert
--> dann folgt das bisher von mir aufgeschriebene
Die Behauptung folgt, weil jedes n [mm] \ge [/mm] n( [mm] \delta) [/mm] mit [mm] |f(a_{n})-d [/mm] | ein noch kleineres [mm] \varepsilon [/mm] liefert und somit sich der Funktionswert dem Grenzwert nähert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:36 Do 20.09.2007 | | Autor: | Tinu21 |
liege ich mit der obenstehenden ausführung richtig?
vielen dank für die hilfe
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> Den Beweis werde ich folgendermasen ausführen. Ich will
> zeigen,dass wenn ich die x-Werte genügend nahe bei der
> Stelle [mm]x_{0}[/mm] wähle, dass dann auch die Funktionswerte gegen
> den Grenzwert konvergieren.
Hallo,
das geht ja schon ins Detail. Wichtig ist, daß Du Dir klar machst, daß Du dabei bist, die Rückrichtung der zu zeigenden Aussage
"Eine Funktion f mit der Gleichung y=f(x) hat mit x nach a genau dann einen Grenzwert g, wenn es zu jedem ε>0 ein δ>0 gibt, so dass gilt |f(x)-g| <ε für 0<|x-a | <δ "
zu beweisen.
Vorausgesetzt ist jetzt also, daß es ein g gibt, so daß
zu es jedem ε>0 ein δ>0 gibt, so dass gilt |f(x)-g| <ε für 0<|x-a | <δ.
Zu zeigen ist: Dann ist [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=g.
[/mm]
Nun kommt Deine Grenzwertdefinition ins Spiel:
"Eine Funktion f mit der Gleichung y=f(x) hat mit x nach a einen Grenzwert g, wenn zu allen x-Folgen, die nach a gehen, alle zugehörigen Funktionswertfolgen konvergent sind und denselben Grenzwert g haben."
Um zu zeigen, daß es einen Grenzwert g gibt, mußt Du zeigen, daß für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n\to [/mm] a gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=g.
[/mm]
> Dazu bilde ich eine Folge [mm]f(a_{n}),[/mm] welche sich der Stelle
> [mm]x_{0}[/mm] immer mehr nähert
Deine Bezeichnungen unterscheiden sich nun leider von meinen, ich denke, das kriegst Du aber in Deckung gebracht.
Bei dem, was Du schriebst, mußt Du aufpassen, daß Du die Bezeichungen aus dem Buch durch die hier angesagten ersetzt. Hier heißt der Grenzwert nunmal g.
>
> --> dann folgt das bisher von mir aufgeschriebene
>
> Die Behauptung folgt, weil jedes n [mm]\ge[/mm] n( [mm]\delta)[/mm] mit
> [mm]|f(a_{n})-d[/mm] | ein noch kleineres [mm]\varepsilon[/mm] liefert und
> somit sich der Funktionswert dem Grenzwert nähert.
Schon irgendwie...
Du hast gezeigt, daß es für jede beliebige Folge [mm] a_n, [/mm] die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert folgendes gilt:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es einen Index N, so daß ab diesem Index N für alle n gilt [mm] |f(a_n)-g|<\varepsilon.
[/mm]
Die ist genau die Def. für Konvergenz gegen g. Also konvergiert die Folge [mm] f(a_n) [/mm] gegen g.
Nun war [mm] a_n [/mm] eine beliebige Folge, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert.
Du hast also insgesamt gezeigt: für jede Folge mit [mm] a_n\to x_0 [/mm] gilt [mm] f(a_n)\to [/mm] g.
Und genau so ist der Grenzwert der Funktion f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] definiert.
Also gilt [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=g.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:52 Do 20.09.2007 | | Autor: | Tinu21 |
Zusammenfassend habe ich das ganze in folgende Form gebracht.
(siehe Dateianhang) [Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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> Zusammenfassend habe ich das ganze in folgende Form
> gebracht.
>
> (siehe Dateianhang) [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
da Du dies als Frage eingestellt hast, möchtest Du sicher, daß jemand Korrektur liest.
Ich rate Dir, Aufgaben und Lösungen hier so einzustellen, daß man sie gleich (oder meinetwegen nach einem Klick) sieht.
Das hier muß man sich ja herunterladen, und das tut nicht jeder. Ich mache das i.d.R. auch nicht.
Dann ist dies Einstellen einer Datei für dich sicher praktisch, für den Helfer aber überhaupt nicht. Man kann ja gar keine Anmerkungen dazwischen schreiben!
Bei dem anderen weiß ich nicht, ob es vielleicht an meinem Linux liegt: ich habe es mir gestern angeschaut. Da ist kein einziges mathematisches Zeichen zu sehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Fr 21.09.2007 | | Autor: | Tinu21 |
da hast du schon recht, dass es für mich einfacher ist, dass hier mit einem anhang zu posten, da ich das ganze im word geschrieben habe!
Das ist das dumme an diesem Word...
Definition 1.1 Eine Funktion f:D→R mit der Gleichung y=f(x) hat bei [mm] x_0 [/mm] einen Grenzwert g, wenn zu allen x-Folgen, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren, alle zugehörigen Funktionswertfolgen ebenfalls konvergent sind und denselben Grenzwert g haben. [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}; [/mm] f(x)=g;
Diese Definition führt zu folgendem Satz:
Satz 1.2 Eine Funktion f mit der Gleichung y=f(x) hat mit x nach [mm] x_0 [/mm] genau dann einen Grenzwert g, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein δ>0 gibt, so dass für alle x∈D mit [mm] |x-x_0 [/mm] | <δ stets |f(x)-g| <ε gilt.
Dieser Satz wird mit dem nachstehenden Beweis in Rückrichtung bestätigt:
Den Beweis werde ich folgendermassen ausführen. Ich will zeigen, dass wenn ich die x-Werte genügend nahe bei der Stelle [mm] x_0 [/mm] wähle, dass dann auch die Funktionswerte gegen den Grenzwert konvergieren.
Voraussetzung dafür ist, dass es einen Grenzwert g gibt, so dass es zu jedem ε>0 ein δ>0 gibt, so dass gilt |f(x)-g| <ε für [mm] |x-x_0 [/mm] | <δ. Zu zeigen ist [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] f(x)= g
Damit es einen Grenzwert g gibt, bilde ich eine Folge [mm] f(x_n [/mm] ) welche sich der Stelle [mm] x_0 [/mm] immer mehr nähert.
Sei [mm] (x_n)_(n \ge [/mm] k) eine beliebig gegen [mm] x_0 [/mm] konvergente Folge aus D, so gilt die Behauptung: [mm] lim\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] =g
Sei ε>0 beliebig vorgegeben. Durch diese Voraussetzung existiert ein δ>0 mit
|f(x)-g| <ε für alle x∈D mit [mm] |x-x_0 [/mm] | <δ. Zu diesem δ existiert ein n(δ) mit
[mm] |x_0-x_n [/mm] | <δ für alle n≥n(δ), also [mm] a_n \in ]x_0- \delta;,x_0+ \delta;[ [/mm] für alle diese n.
Dann gilt aber [mm] |f(x_n [/mm] )-d| <ε r für alle diese n≥n(δ), also folgt die Behauptung, weil jedes n≥n(δ) mit [mm] |f(x_n [/mm] )-d| ein noch kleineres ε liefert und somit sich der Funktionswert dem Grenzwert nähert.
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> Definition 1.1 Eine Funktion f:D→R mit der Gleichung
> y=f(x) hat bei [mm]x_0[/mm] einen Grenzwert g, wenn zu allen
> x-Folgen, die gegen [mm]x_0[/mm] konvergieren, alle zugehörigen
> Funktionswertfolgen ebenfalls konvergent sind und denselben
> Grenzwert g haben. [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0};[/mm] f(x)=g;
>
> Diese Definition führt zu folgendem Satz :
> Satz 1.2 Eine Funktion f mit der Gleichung y=f(x) hat mit
> x nach [mm]x_0[/mm] genau dann einen Grenzwert g, wenn es zu jedem
> [mm]\varepsilon>0[/mm] ein δ>0 gibt, so dass für alle x∈D
> mit [mm]|x-x_0[/mm] | <δ stets |f(x)-g| <ε gilt.
>
Beweis:
A. Rückrichtung
Voraussetzung:
Es gibt ein g,
> so
> dass es zu jedem ε>0 ein δ>0 gibt, so dass gilt
> |f(x)-g| <ε für [mm]|x-x_0[/mm] | <δ.
Zu zeigen:
> [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x)= [/mm] g
> Damit es einen Grenzwert g gibt, bilde ich eine Folge [mm] f(x_n) [/mm] welche sich der Stelle [mm] x_0 [/mm] immer mehr nähert.
Hierzu werde ich im folgenden zeigen, daß für jede Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, die Folge der Funktionswerte, [mm] (f(x_n)) [/mm] gegen g konvergiert.
>
> Sei [mm](x_n)_(n \ge[/mm] k) eine beliebig gegen [mm]x_0[/mm] konvergente
> Folge aus D, so gilt die Behauptung: lim ...
> Sei ε>0 beliebig vorgegeben. Durch diese
Nach
>Voraussetzung
> existiert ein δ>0 mit
> |f(x)-g| <ε für alle x∈D mit [mm]|x-x_0[/mm] |
> <δ.
Da die Foge [mm] (x_n) [/mm] gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, gibt es
> Zu diesem δ existiert ein n(δ) mit
> [mm]|x_0-x_n[/mm] | <δ für alle n≥n(δ), also [mm] a_n [/mm] ... für alle diese n.
> Dann gilt aber
Nach Voraussetzung gilt
> [mm]|f(x_n[/mm] )-g| <ε r für alle diese
> n≥n(δ), also
konvergiert [mm] f(x_n) [/mm] gegen g.
Da [mm] x_n [/mm] eine beliebige, gegen [mm] x_0 [/mm] konvergente Folge ist, ist also (nach Definition 1.1) [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x)= [/mm] g.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Fr 21.09.2007 | | Autor: | Tinu21 |
vielen Dank für deine Hilfe!
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