Beweis Gleichheit von 2 Mengen < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mi 24.11.2010 | | Autor: | angu |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm]\{x \in R; x > 0\} = \{ \bruch{1}{y}; y > 0\};[/mm] |
Offensichtlich handelt es sich bei den beiden Mengen um die Menge der positiven reellen Zahlen. Ich habe im folgenden versucht, die Gleichheit der beiden Mengen formal zu beweisen:
Beweis: Zu zeigen ist, dass A = [mm]\{x \in R; x > 0\}[/mm] und B = [mm]\{\bruch{1}{y}; y > 0\}[/mm] die gleichen Elemente besitzen.
Also ist zu zeigen:
1) A [mm]\subseteq[/mm] B, also x [mm] \in A[/mm] => x [mm] \in B[/mm];
2) B [mm]\subseteq[/mm] A, also y [mm] \in B[/mm] => y [mm] \in A[/mm];
zu 1) x = [mm] \bruch{1}{1/x} \in A[/mm] => x [mm] \in B[/mm];
zu 2) [mm]\bruch{1}{y}[/mm] = [mm] \bruch{1/y}{1} \in B[/mm] => [mm]\bruch{1}{y} \in A[/mm];
aus 1) und 2) folgt A = B; q.e.d.
Ist dieser Beweis korrekt geführt?
Herzlichen Dank,
Andreas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Di 30.11.2010 | | Autor: | chrisno |
Ich bin ja schon lange aus diesem Geschäft. Dein Beweis überzeugt mich nicht. Ich denke, dass DU bei so einem Beweis jedes Gleichheitszeichen und jede Folgerung mit einem Axiom oder einem Satz begründen musst. Es fehlt mir ein Schritt. Du musst doch zeigen, dass wenn x in A ist, auch 1/x in A ist. Das ist so, weil es in R>0 das multiplikative Inverse gibt. Das steht bei Dir aber nicht.
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Ich muss da chrisno recht geben
> Zeigen Sie: [mm]\{x \in R; x > 0\} = \{ \bruch{1}{y}; y > 0\};[/mm]
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> Offensichtlich handelt es sich bei den beiden Mengen um die
> Menge der positiven reellen Zahlen. Ich habe im folgenden
> versucht, die Gleichheit der beiden Mengen formal zu
> beweisen:
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> Beweis: Zu zeigen ist, dass A = [mm]\{x \in R; x > 0\}[/mm] und B =
> [mm]\{\bruch{1}{y}; y > 0\}[/mm] die gleichen Elemente besitzen.
>
> Also ist zu zeigen:
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> 1) A [mm]\subseteq[/mm] B, also x [mm]\in A[/mm] => x [mm]\in B[/mm];
>
> 2) B [mm]\subseteq[/mm] A, also y [mm]\in B[/mm] => y [mm]\in A[/mm];
Was ist A?
[mm]A:=\{x\in \IR\;|\;x>0\}[/mm],[mm]B=\{\frac{1}{y}\; |\;y>0\}[/mm]
>
> zu 1) x = [mm]\bruch{1}{1/x} \in A[/mm] => x [mm]\in B[/mm];
Der ist wirklich ziemlich kurz.
Sei [mm]x\in A[/mm], d.h. [mm]x\in\IR[/mm] und [mm]x\ge 0[/mm]. Da [mm]\IR[/mm] (Steht in der Aufgabe nun [mm]\IR[/mm] oder [mm]R\,[/mm]) ein Körper ist existiert [mm]x^{-1}=\frac{1}{x}[/mm]. Und jetzt musst du auch noch begründen, dass auch [mm]x^{-1}>0[/mm] gilt. Dann hast du [mm]x\in A\Rightarrow x\in B[/mm].
>
> zu 2) [mm]\bruch{1}{y}[/mm] = [mm]\bruch{1/y}{1} \in B[/mm] => [mm]\bruch{1}{y} \in A[/mm];
Wenn man das formal machen möchte, dann finde ich die Aufgabe nicht wirklich vollständig. Wer garantiert denn [mm]\frac{1}{y}\not\in \IC\setminus \IR[/mm] ??? Sollte dastehen:
[mm]\ldots = \{\frac{1}{y}\in \IR \;|\; y>0\}[/mm]
Dann könntest du dir das so einfach machen und [mm]\Rightarrow[/mm] benutzen.
Also der interessante Teil ist zu beweisen, dass aus x>0 folgt, dass auch der Kehrwert >0 ist.
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