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| Aufgabe | Es sei B = [mm] (b_{ij}) \in [/mm] M(n x n, K) mit [mm] b_{ij} [/mm] = b [mm] \in [/mm] K für alle i,j = 1, ..., n
und A := B + [mm] aE_n [/mm] mit a [mm] \in [/mm] K. Zeigen Sie:
det(A) = [mm] a^{n-1}(a+nb) [/mm] |
Hi
leider habe ich gerade weder meine Vorlesungsunterlagen noch mein LinA Buch zur Verfügung, kann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen?
Komme ich da mit der Leibnizformel weiter? Oder gibt es irgendeine Determinantenrechenregel die mir hilft?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Di 06.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
zunächst kannst du feststellen, dass die Determinante von A gleich der Determinante einer Matrix [mm] $C=(c_{ij})$ [/mm] ist, die ich wie folgt definiere:
1. Die erste Spalte von C ist mit der ersten Zeile von A identisch
2. [mm] $c_{i1}=-a$ [/mm] für [mm] $2\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$
3. [mm] $c_{ii}=a$ [/mm] für [mm] $2\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$
4. [mm] $c_{ij}=0, [/mm] else.
Die Determinante von C kann man z. B. mit der Leibnizformel leicht berechnen, schließlich überleben nur n der n! Summanden. Diese stammen von den Permutationen [mm] $\pi_j$, $1\le [/mm] j [mm] \le [/mm] n$, mit [mm] $\pi_j(i)=i$, [/mm] falls $1 [mm] \neq [/mm] i [mm] \neq [/mm] j$, [mm] $\pi_j(1)=j$, $\pi_j(j)=1$.
[/mm]
Liebe Grüße
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Wie bist du auf die Matrix C gekommen? Durch ausprobieren? Ich hab das jetzt mal an einem Beispiel durchgerechnet und es kommt schon das richtige raus, aber ich würde gerne verstehen wie du auf die Matrix C gekommen bist? Wahrscheinlich so wie fred es unten beschrieben hat? Dann Frage ich mich allerdings wie man dann da drauf kommt :)
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Mi 07.01.2015 | | Autor: | andyv |
Habe die erste Zeile gelassen; die anderen Zeilen erhält man durch Subtraktion der erste Zeile, mit anderen Worten: Ich habe genau das gemacht, was Fred unter 1. stehen hat.
Wie man darauf kommt? Die Zeilen sind "fast" gleich, dann ist es klar, dass Subtraktion viele 0 Einträge produziert.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Mi 07.01.2015 | | Autor: | fred97 |
1. Subtrahiere die 1. Zeile von jeder anderen Zeile.
2. Addiere die Spalten 2 bis n zur ersten Spalte.
Das Resultat ist eine obere Dreiecksmatrix.
FRED
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