Beweis Flächeninhalt Dreieck < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mo 11.04.2005 | | Autor: | miadeala |
Hi!!
Ich muss in Mathe einen Beweis machen und zwar muss ich zeigen, dass der Flacheninhalt eines Dreiecks -ausgedrückt mit Skalar und Vektorbeträgen - folgendes ist :
1/2 [mm] \wurzel{ \overrightarrow{AB} ² \overrightarrow{AC} ² - ( \overrightarrow{AB}\* \overrightarrow{AC}) ²}
[/mm]
ich weiß aber schon, dass der flächeninhalt auch so ausgedrückt werden kann: 1/2 [mm] \overrightarrow{AB} \overrightarrow{AC} sin\alpha
[/mm]
kann ich daraus irgendwas ableiten? also A für ein dreieck ist ja normalerweise (g*h)/2 ! Hier ist jetzt g=AB...
Ich kann mir die wurzel erklären und das AB² unter der wurzel (=g).. aber wieso ist h=AC²-(AB*AC)² ?
Ich hab alles so kompliziert gefasst, ich denke dass es schwer ist das zu verstehen aber ihr könnts ja probieren ;) wenns nich gehtm ist nicht schlimm, wir besprechen es ja im unterricht.. aber ich fände es interessant zu wissen +g+ also bis dann!
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Hallo,
hier kannst Du dann die Definition des Winkels verwenden:
[mm]\cos (\alpha )\; = \;\frac{{\overrightarrow {AB} \; \bullet \;\overrightarrow {AC} }}
{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\;\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}[/mm]
> wurzel (=g).. aber wieso ist h=AC²-(AB*AC)² ?
Das Stichwort hier heißt "senkrechte Projektion". Das heißt der Höhenvektor muß senkrecht auf der Verbindungsstrecke AC stehen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mo 11.04.2005 | | Autor: | miadeala |
ja, das hab ich auch rausgefunden und mir gedacht;
aber ich komm nicht darauf wie ich das umformen muss, sodass am ende das rauskommt, was unter der wurzel steht! ... =(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich nenne den Hochfußpunkt mal $P$.
Dann gilt nach Pythagoras
[mm] $\vec{AC}^2 [/mm] = [mm] \vec{AP}^2 [/mm] + [mm] \vec{PC}^2$,
[/mm]
also:
[mm] $h^2 [/mm] = [mm] \vec{PC}^2 [/mm] = [mm] \vec{AC}^2 [/mm] - [mm] \vec{AP}^2$.
[/mm]
Nun ist aber [mm] $\vec{AP}$ [/mm] die orthogonale Projektion von [mm] $\vec{AC}$ [/mm] auf [mm] $\vec{AB}$, [/mm] d.h. es gilt:
[mm] $\vec{AP}^2 [/mm] = [mm] \frac{(\vec{AC} \* \vec{AB})^2}{\vec{AB}^2}$.
[/mm]
Wir erhalten also:
[mm] $h^2 [/mm] = [mm] \vec{AC}^2 [/mm] - [mm] \frac{(\vec{AC} \* \vec{AB})^2}{\vec{AB}^2}$
[/mm]
und daher für den Flächeninhalt [mm] $\Delta$ [/mm] des Dreiecks:
[mm] $\Delta^2 [/mm] = [mm] \frac{g^2 \cdot h^2}{4} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \cdot \vec{AB}^2 \cdot \left( \vec{AC}^2 - \frac{(\vec{AC} \* \vec{AB})^2}{\vec{AB}^2} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \cdot \left( \vec{AB}^2 \cdot \vec{AC}^2 - (\vec{AC} \* \vec{BC})^2 \right)$.
[/mm]
Zieht man nun noch die Wurzel, so folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Julius
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