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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Do 04.07.2013 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Satz: Sei f [mm] \in C^{2}[a,b] [/mm] und [mm] h=\bruch{b-a}{n} [/mm] für ein n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt:
|I[f] - [mm] T_{n}[f]| \le \bruch{b-a}{12}*\parallel f^{''} \parallel_{[a,b]}*h^2.
[/mm]
Dabei ist I[f] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] und [mm] T_{n}[f] [/mm] die Trapezsumme. |
Hallo,
ich verstehe den Ansatz des Beweises vom obigen Satz nicht. Ich schreibe ihn mal kurz auf:
Wir betrachten zunächst den Fall n=1, also die Trapezformel [mm] T[f]=\bruch{b-a}{2}*(f(a)+f(b)). [/mm] Deren Fehler lässt sich mit der Stammfunktion F von f in der Form
I[f] - T[f] = F(b) - F(a) - [mm] \bruch{b-a}{2}*(f(a)+f(b))
[/mm]
schreiben. Eine Taylorentwicklung von F um x = a ergibt dann:
I[f] - T[f] = [mm] F^{'}(a)(b-a) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{F^{''}(x)(b-x) dx} [/mm] - [mm] \bruch{b-a}{2}*(f(a)+f(b)) [/mm] = [mm] \bruch{b-a}{2}*(f(a)+f(b)) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{f^{'}(x)(b-x) dx}
[/mm]
Bei mir hakt es bei der Taylorentwicklung. Ich sehe ehrlich gesagt nicht, wie diese eingebracht worden ist.
Kann mir dies jemand bitte kurz zeigen?
Vielen Dank und liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Do 04.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Mit dem Restglied in Integralform ist
[mm] F(x)=F(a)+F'(a)(x-a)+\integral_{a}^{x}{(x-t)F''(t) dt}
[/mm]
Für x=b bekommen wir:
[mm] F(b)=F(a)+F'(a)(b-a)+\integral_{a}^{b}{(b-t)F''(t) dt}
[/mm]
Wegen F'=f folgt:
[mm] F(b)-F(a)=f(a)(b-a)+\integral_{a}^{b}{(b-t)f'(t) dt}
[/mm]
FRED
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