Beweis, Erwartungswert Varianz < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Sa 26.04.2008 | | Autor: | p1ko |
| Aufgabe | Erwartungswert bzw. Varianz einer stetigen Zufallsgröße X mit der Dichte f(x) sind definiert als: [mm] E(X)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx} [/mm] bzw. [mm] V(X)=\integral_{-\infty}^{\infty}{(x-E(X))^{2}*f(x) dx}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass für eine exponential verteilte Zufallsgröße X gilt: [mm] E(X)=\bruch{1}{\lambda} [/mm] und [mm] V(X)=\bruch{1}{\lambda^{2}}.
[/mm]
Beachten Sie, dass f(x)=0 für x<0 zu setzen ist.
b)Bestimmen Sie die Halbwertszeit für eine exp. verteilte Zufallsgröße mit Parameter [mm] \lambda.
[/mm]
Wieso ist deren Erwartungswert deutlich größer als die Halbwertszeit? |
Zu a) Nachdem ich partiell integriert und die Grenzen eingefügt habe, kam bei mir [mm] -\infty [/mm] raus. Ich habe weder Fehler bei den Umformungen gefunden, noch beim Integrieren und bin ratlos, denn man muss ja am Ende auf das [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] kommen.
Paar Rechenschritte die ich hatte:
Partiell intergriert:
[mm] [x*\bruch{\lambda}{-\lambda}*e^{-\lambda*x}]_{-\infty}^{\infty}-\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{\lambda}{-\lambda}*e^{-\lambda*x} dx}
[/mm]
Abgeleitet & Umgeformt:
[mm] -\bruch{1}{\lambda}*[x*\lambda*e^{-\lambda*x}]_{-\infty}^{\infty}-\bruch{1}{\lambda}*[e^{-\lambda*x}]_{-\infty}^{\infty}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Sa 26.04.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
du musst die Voraussetzung f(x) = 0 für x < 0 beachten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 So 27.04.2008 | | Autor: | p1ko |
ja nach ner stunde rumgrübeln ist uns das auch aufgefallen. Wir haben schließlich beim umformen geguckt, dass wir für das einsetzen die form [mm] "\lambda*e^{-\lambda*x} [/mm] hatten und beim einsetzen von [mm] -\infty [/mm] immer gleich 0 hingeschrieben (weil [mm] f(x)=c*e^{-\lambda*x} [/mm] und [mm] c=\lambda). [/mm] Vielleicht haben wir das mit dem f(x)=0 falsch verstanden. Aber eigentlich waren wir (ich und ein mathe LK freund) eigentlich sicher, dass das so gemeint war ^^ Bedeutet das denn dass man für [mm] \lambda*e^{-\lambda*x} [/mm] einfach immer null einsetzt bei der "Abgeleiteten & Umgeformten" Form die ich oben aufgeschrieben habe oder soll man das gleich als untere Grenze für [mm] -\infty [/mm] setzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 So 27.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo p1ko,
prinzipiell liegt man mit Minus Unendlich als untere Grenze auf der sicheren Seite, es hängt aber natürlich von der Art der Verteilung ab, für welche reellen Werte die Dichte überhaupt von Null verschieden ist. Bei der Exponentialverteilung ist die Dichte nun mal Null für negative Werte und damit ist Null die untere Grenze.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Mo 28.04.2008 | | Autor: | p1ko |
Hey,
nachdem ich am sonntag nochmal 6h+ lang gerechnet habe, hab ichs endlich hingekriegt :)... die a) ging mit der unteren grenze 0 recht flott ... Hatte dann Schwierigkeiten mit der Varianz, aber nachdem ich meine zwei fehler nach stundenlangem suchen gefunden habe, die ich beim umformen&integrieren gemacht habe, hatte ich am ende endlich [mm] \bruch{1}{\lambda²} [/mm] raus :). Danke für die schnelle Hilfe, musste es nämlich bis heute lösen und der klasse vorstellen ^^ :)
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