Beweis: Erwartungstreue < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:43 So 11.12.2011 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:
Sei [mm] I\Theta \subset \IR, [/mm] und für jedes n [mm] \ge [/mm] 1 sei [mm] \hat{\Theta} [/mm] : [mm] \IR^n \to \IR [/mm] eine beliebige Stichprobenfunktion, so dass
[mm] E_{\Theta}\hat \Theta^2(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) [/mm] < [mm] \infty, \forall \Theta \in I\Theta.
[/mm]
Falls [mm] \hat \Theta(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) [/mm] asymptotisch erwartungstreu ist, d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} E_{\Theta}\hat \Theta(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) [/mm] = [mm] \Theta, \forall \Theta \in I\Theta,
[/mm]
und falls die Schätzvarianz mit wachsendem Stichprobenumfang gegen 0 konvergiert, d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} Var_{\Theta} \hat \Theta(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) [/mm] = 0, [mm] \forall \Theta \in I\Theta
[/mm]
dann ist der Schätzer [mm] \hat \Theta(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) [/mm] schwach konsistent, d.h. [mm] \hat \Theta(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \to^P \Theta. [/mm] |
Hallo,
was würdet ihr mir als Ansatz für diesen Beweis empfehlen? Die Definition von Erwartungstreue? Das wäre dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} E_{\Theta}\hat \Theta(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) [/mm] = [mm] \Theta
[/mm]
und nun könnte ich noch die Definition des Erwartungswerts einsetzen, komme jedoch auf keinen grünen Zweig. Am Ende muss ich ja irgendwie [mm] \hat \Theta [/mm] = [mm] \Theta [/mm] stehen haben.
Weiß jemand mir einen Tipp?
Auf Nachfrage beim Übungsleiter gab er mir den Hinweis, dass die Markov-Ungleichung hilfreich wäre, jedoch konnte ich ihre Form hier noch nicht entdecken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:21 Di 13.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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