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Hi,
folgender Beweis quält mich:
Beweisen Sie: Wenn bei einem LAPLACEschen Ereignisfeld gilt:
P(A) = 1 - P(B) und A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset, [/mm] dann ist B = [mm] \overline{A}.
[/mm]
Geben sie für geometrische Wahrscheinlichkeiten ein Beispiel an, für as die Aussage oben nicht gilt.
Also
P(A) = 1 - P(B) und A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset, [/mm] dann ist B = [mm] \overline{A}.
[/mm]
das ist logisch. Das verstehe ich. Schön und gut. Aber wie soll ich das beweisen ? Geschweige denn ein Beispiel finden wo das nicht stimmt.
Ich bin leider ahnungslos.
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Hallo Paulchen,
ich bin vom Begriff 'Ereignisfeld' etwas irritiert. Ich keine nur den Ergebnisraum [mm] $\Omega$ [/mm] und den davon abgeleiteten Ereignisraum.
Die Aussage
$P(A)=1-P(B)$ und [mm] $A{\cap}B$=$\emptyset$ $\Rightarrow$ $B=\overline{A}$
[/mm]
gilt in Wahrscheinlichkeitsräumen, in denen es neben dem unmöglichen Ereignis kein weiteres Eregnis mit Wahrscheinlichkeit 0 gibt.
Aus [mm] $A{\cap}B=0$ [/mm] folgt, dass [mm] $P(A{\cup}B)$=$P(A)+P(B)$.
[/mm]
Wir sehen nun, dass [mm] $P(A{\cup}B)$=1, [/mm] so dass
[mm] $P(\overline{A}{\cap}\overline{B})$=0.
[/mm]
Wenn nur das unmögliche Ereignis die Wahrscheinlichkeit 0 besitzt, muss nun auch [mm] $\overline{A}{\cap}\overline{B}$=$\emptyset$ [/mm] sein. Das geht nur, wenn [mm] $B=\overline{A}$.
[/mm]
Deine Aufgabe ist es jetzt, diese allgemeine Feststellung an deine Aufgabe anzupassen. Inwiefern gibt es bei 'geometrischen Wahrscheinlichkeiten' Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0, die nicht das unmögliche Ereignis sind?
Hugo
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> Wenn nur das unmögliche Ereignis die Wahrscheinlichkeit 0
> besitzt, muss nun auch
> [mm]\overline{A}{\cap}\overline{B}[/mm]=[mm]\emptyset[/mm] sein. Das geht
> nur, wenn [mm]B=\overline{A}[/mm].
>
> Deine Aufgabe ist es jetzt, diese allgemeine Feststellung
> an deine Aufgabe anzupassen. Inwiefern gibt es bei
> 'geometrischen Wahrscheinlichkeiten' Ereignisse mit
> Wahrscheinlichkeit 0, die nicht das unmögliche Ereignis
> sind?
Ich stehe leider auf dem Schlauch. Leider keine Ahnung wie ich das machen kann.
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Hallo Paul,
dazu musst du überlegen, was die geometrische Verteilung beschreibt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass etwas zum ersten Mal nach x Wiederholungen eines Zufallsexperiments passiert. Also z.B. beim Würfeln, wann tritt zum ersten Mal die Zahl 6 auf? Die Verteilung dieser Zufallsvariable ist geometrisch.
Ein Ergebnis ist bei so einem Experiment also immer in der Form "Zahl 6 wird im x.ten Zug zum ersten Mal gewürfelt" zu formulieren.
Welche Ereignisse, also Mengen von Ergebnissen, können also garnicht eintreten und haben Wahrscheinlichkeit 0 ?
mfg
Daniel
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Hallo,
bezogen auf das beispiel mit dem würfeln kann zB augenzahl 0 nicht auftreten oder augenzahl 7 oder ...
Aber inwiefern hilft mir das bei dieser theoretisch formulierten aufgabenstellung weiter ?
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Hallo Paul,
und genauso kannst du sagen, dass für X="Nummer des Wurfes, bei dem zuerst eine 6 gewürfelt wurde" P(X [mm] \in [/mm] A)=0 ist für [mm]A \subset \IR \setminus \IN[/mm]. (7,5 kann z.B. nicht vorkommen!) D.h. es gibt (viele) [mm]A \not= \emptyset[/mm] mit [mm]P(A)=0[/mm]. Wenn du dir den Beweis von oben nochmal anschaust, siehst du, dass dieser dann nicht mehr funktionieren würde.
mfg
Daniel
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Hi, PaulPanther2,
> Beweisen Sie: Wenn bei einem LAPLACEschen Ereignisfeld
> gilt:
> P(A) = 1 - P(B) und A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset,[/mm] dann ist B =
> [mm]\overline{A}.[/mm]
> Geben sie für geometrische Wahrscheinlichkeiten ein
> Beispiel an, für das die Aussage oben nicht gilt.
>
> Also
> P(A) = 1 - P(B) und A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset,[/mm] dann ist B =
> [mm]\overline{A}.[/mm]
>
> das ist logisch. Das verstehe ich. Schön und gut. Aber wie
> soll ich das beweisen ? Geschweige denn ein Beispiel finden
> wo das nicht stimmt.
Den 2. Teil der Aufgabe finde ich besonders interessant! Hab' ich mir vorher noch nie überlegt!
Aber wie wär's damit:
Man hat ein(z.B. quadratisches) Feld ("Zielscheibe"), auf das man mit einem Dartpfeil wirft; ich meine aber einen "mathematischen" Dartpfeil, bei dem die Spitze, d.h. die Stelle, wo ich die Scheibe treffe, die Fläche =0 hat.
Der Dartpfeil treffe dieses Feld immer!
Nun halbiere ich die Scheibe durch eine (sagen wir senkrechte) Strecke s(Beachte: Wieder Fläche von s =0). Die linke Hälfte der Scheibe ohne die Strecke s nenne ich A, die rechte (auch diese enthält s nicht!) nenne ich B. Die Wahrscheinlichkeit, in eine der beiden Hälften zu treffen ist jeweils 0,5:
P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; demnach: P(A) = 1 - P(B)
Dennoch ist nicht B = [mm] \overline{A}, [/mm]
denn die Strecke s fehlt ja noch "zum gesamten Feld".
Hoffentlich konnte ich deutlich machen, was ich meine!
mfG!
Zwerglein
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Du meinst die sache mit der geteilten dartscheibe ( ja ich verstehe was du meinst ) könnte als so ein beispiel durchgehen ? Ich beginne langsam auch zu verstehen worum es geht ..
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