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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Sa 01.05.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Sei V ein euklidischer Raum. Sei A eine reele symmetrische Matrix, und sei phi der durch A definierte Endomorphismus.
(a) Man beweise (Kern phi) [mm] \perp [/mm] (Bild phi) und V = (Kern phi) [mm] \oplus [/mm] (Bild phi)
(b) Man beweise: phi ist genau dann eine orthogonale Projektion auf Bild phi, wenn fpr die symmetrische Matrix A ausserdem A²=A gilt. |
Ich habe leider immer wieder Probleme mit beweisen...zur Aufgabe (a) weiss ich bereits, dass
Bild phi sind w's so dass w=phi(v) für ein v aus dem Raum
Kern phi sind alle v's so dass gilt phi(v)=0
Das würde ja bedeuten, dass wenn diese beiden Unterräume orthogonal sind und zusammen den Raum bilden, dass diese beiden eine Orthogonalbasis für V sind, oder täusche ich mich da? Wie muss ich dann weiter vorgehen, um das "formal" aufzuschreiben? Vielen Dank für Hilfe! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 So 02.05.2010 | | Autor: | natascha |
Hallöchen,
Ich bin immer noch am Grübeln an dieser Aufgabe...liege ich richtig mit meinem Ansatz, dass das ganze mit einer Orthogonalbasis zu tun hat oder liege ich damit komplett falsch und komme deshalb nicht weiter? Vielen Dank im Voraus! 
Gruss,
Natascha
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> Sei V ein euklidischer Raum. Sei A eine reele symmetrische
> Matrix, und sei phi der durch A definierte Endomorphismus.
> (a) Man beweise (Kern phi) [mm]\perp[/mm] (Bild phi) und V = (Kern
> phi) [mm]\oplus[/mm] (Bild phi)
> (b) Man beweise: phi ist genau dann eine orthogonale
> Projektion auf Bild phi, wenn fpr die symmetrische Matrix A
> ausserdem A²=A gilt.
> Ich habe leider immer wieder Probleme mit beweisen...zur
> Aufgabe (a) weiss ich bereits, dass
> Bild phi sind w's so dass w=phi(v) für ein v aus dem Raum
> Kern phi sind alle v's so dass gilt phi(v)=0
Hallo,
man kann Deinem Ansatz leider nicht entnehmen, wie weit die Vorlesung gediehen ist.
Diagonalisierung war dran?
Wenn ja, dann bedenke, daß A orthogonal diagonalisierbar ist - damit bist Du ja schon dicht an der Existenz einer passenden ONB aus Eigenvektoren.
Vielleicht bringt Dich dieser Anstoß schon ein Stück weiter.
Gruß v. Angela
>
> Das würde ja bedeuten, dass wenn diese beiden Unterräume
> orthogonal sind und zusammen den Raum bilden, dass diese
> beiden eine Orthogonalbasis für V sind, oder täusche ich
> mich da? Wie muss ich dann weiter vorgehen, um das "formal"
> aufzuschreiben? Vielen Dank für Hilfe! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 So 02.05.2010 | | Autor: | natascha |
Liebe Angela!
Vielen Dank für deine Antwort! Ja, diagonalisieren war schon dran. Das heisst also, dass ich so schliessen kann:
A reel und symmetrisch -> A normale Matrix -> A diagonalisierbar -> Es existiert eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A (Satz)
Jedoch weiss ich jetzt nicht so genau, wie ich mir den Zusammenhang mit dem Kern und dem Bild vorstellen soll...Hängen Kern und Bild mit den Eigenvektoren zusammen? Vielen Dank im Voraus!
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> Liebe Angela!
> Vielen Dank für deine Antwort! Ja, diagonalisieren war
> schon dran. Das heisst also, dass ich so schliessen kann:
> A reel und symmetrisch -> A normale Matrix -> A [mm] \red{orthogonal} [/mm] diagonalisierbar -> Es existiert eine Orthonormalbasis aus
> Eigenvektoren von A (Satz)
> Jedoch weiss ich jetzt nicht so genau, wie ich mir den
> Zusammenhang mit dem Kern und dem Bild vorstellen
> soll...Hängen Kern und Bild mit den Eigenvektoren
> zusammen? Vielen Dank im Voraus!
Hallo,
Du hast also jetzt gesichert, daß Du eine ONB hast, welche aus Eigenvektoren besteht.
Überleg' Dir nun, daß die Eigenvektoren, die zum Eigenwert 0 gehören, eine Basis des Kerns sind,
Überleg Dir, daß die Dimension des Bildes = der Anzahl der Basisvektoren, die zu anderen Eigenwerten als der Nullgehören, ist.
Vielleicht fällt Dir auch eine Basis des Bildes ein...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 02.05.2010 | | Autor: | natascha |
Ich denke, dass die Basisvektoren, die zu anderen Eigenwerten als 0 gehören, eine Basis für das Bild bilden.
Damit wäre dann bewiesen, dass die V = Kern phi (+) Bild phi, oder?
Das heisst, ich müsste jetzt noch zeigen, dass span von den Eigenvektoren die zum EW 0 gehören senkrecht steht auf dem span der Eigenvektoren der EW die nicht 0 sind...stimmt das soweit?
Vielen vielen Dank für deine Hilfe! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 So 02.05.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ich denke, dass die Basisvektoren, die zu anderen
> Eigenwerten als 0 gehören, eine Basis für das Bild bilden.
Exakt.
> Damit wäre dann bewiesen, dass die V = Kern phi (+) Bild phi, oder?
Im Grunde ja... aber du musst das schon nochmal genau zeigen, d.h. erstens [mm] $\ker\varphi\cap\operatorname{im}\varphi=\{0\}$ [/mm] und zweitens [mm] $\ker\varphi+\operatorname{im}\varphi=V$.
[/mm]
> Das heisst, ich müsste jetzt noch zeigen, dass span von
> den Eigenvektoren die zum EW 0 gehören senkrecht steht auf
> dem span der Eigenvektoren der EW die nicht 0 sind...stimmt
> das soweit?
Ja. Vielleicht hattet ihr ja schon, dass EV zu verschiedenen Eigenwerten stets senkrecht zueinander sind. Wenn nicht dann beweis das mal und dann mussst du nur noch alles gekonnt zusammenrühren.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 02.05.2010 | | Autor: | natascha |
Vielen Dank für die Antwort!
Ich habe eine weitere Frage zu den Beweisen:
Ich soll ja noch zeigen, dass Kern phi /cap Bild phi = {0}, das ist ja eigentlich trivial, aber wie kann ich das mathematisch ausdrücken?
Kann ich Kern phi (+) Bild phi = V damit begründen, dass es nicht noch mehr Eigenwerte geben kann als die EW = 0 und die EW nicht = 0? Oder muss da noch was mehr hin?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 02.05.2010 | | Autor: | pelzig |
> Vielen Dank für die Antwort!
> Ich habe eine weitere Frage zu den Beweisen:
> Ich soll ja noch zeigen, dass Kern phi /cap Bild phi =
> {0}, das ist ja eigentlich trivial, aber wie kann ich das
> mathematisch ausdrücken?
Es ist überhaupt nicht trivial. Du musst knallhart zeigen: [mm] $x\in\ker\varphi\cap\operatorname{im}\varphi\Rightarrow [/mm] x=0$.
Als Tipp: Nimm dir eine Basis [mm] $\{b_i\}_{1\le i\le n}$ [/mm] mit zugehörigen Eigenwerten [mm] $\{\lambda_i\}_{1\le i\le n}$ [/mm] und o.B.d.A. [mm] $\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_l=0$ [/mm] und [mm] $\lambda_j\ne [/mm] 0$ für $j>l$. Nun nimm dir ein [mm] $x\in\ker\varphi\cap\operatorname{im}\varphi$ [/mm] und Stelle es mit dieser Basis dar...
> Kann ich Kern phi (+) Bild phi = V damit begründen, dass
> es nicht noch mehr Eigenwerte geben kann als die EW = 0 und
> die EW nicht = 0? Oder muss da noch was mehr hin?
Das ist kein mathematisches Argument. Du musst zeigen dass sich jeder Vektor [mm] $x\in [/mm] V$ darstellen lässt als $x=k+w$ mit [mm] $k\in\ker\varphi$ [/mm] und [mm] $w\in\operatorname{im}\varphi$!
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 03.05.2010 | | Autor: | natascha |
Vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich nicht genau verstanden, wie ich da vorgehen muss:
"Es ist überhaupt nicht trivial. Du musst knallhart zeigen: $ [mm] x\in\ker\varphi\cap\operatorname{im}\varphi\Rightarrow [/mm] x=0 $.
Als Tipp: Nimm dir eine Basis $ [mm] \{b_i\}_{1\le i\le n} [/mm] $ mit zugehörigen Eigenwerten $ [mm] \{\lambda_i\}_{1\le i\le n} [/mm] $ und o.B.d.A. $ [mm] \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_l=0 [/mm] $ und $ [mm] \lambda_j\ne [/mm] 0 $ für j>l. Nun nimm dir ein $ [mm] x\in\ker\varphi\cap\operatorname{im}\varphi [/mm] $ und Stelle es mit dieser Basis dar... "
Um das x mit der Basis darzustellen, muss ich dazu folgende Gleichungen aufstellen oder ist das ganz falsch:
[mm] x\lambda_1=xv1
[/mm]
[mm] x\lambda_2=xv2
[/mm]
...
[mm] x\lambda_l=xvl
[/mm]
Auch bei der zweiten Behauptung verstehe ich nicht, wie ich x aus V als x=k+w darstellen kann, das scheint mir alles so abstrakt :( Vielen Dank für Hilfe! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mo 03.05.2010 | | Autor: | pelzig |
Okay nochmal: Wir wählen eine ONB [mm] $\mathcal{B}=\{b_i\}_{1\le i\le n}$ [/mm] mit zugehörigen Eigenwerten [mm] $\{\lambda_i\}_{1\le i\le n}$, [/mm] d.h. [mm] \varphi(b_i)=\lambda_ib_i$. [/mm] O.B.d.A. können wir annehmen, dass die ersten [mm]l\in\IN_0[/mm] Eigenwerte gleich 0 sind und der Rest verschieden von Null. Nun Sei [mm]x\in V[/mm] beliebig. Dann ist, da [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] eine Basis ist, [mm] $x=\sum_i a_ib_i$ [/mm] für gewisse Zahlen [mm] $a_i\in\IK$. [/mm] Anders ausgedrückt: [mm] $$x=\left(\sum_{i=1}^l a_ib_i\right)+\left(\sum_{i=l+1}^na_ib_i\right)=:k+w$$ [/mm] Jetzt überlege mal warum [mm] $k\in\ker\varphi$ [/mm] und [mm] $w\in\operatorname{im}\varphi$ [/mm] ist... Wenn du das hast, dann hast du [mm] $V=\ker\varphi+\operatorname{im}\varphi$ [/mm] gezeigt.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Di 04.05.2010 | | Autor: | natascha |
Vielen Dank! Ich glaub, jetzt kann ich's hinkriegen
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| Aufgabe | | (b) Man beweise: phi ist genau dann eine orthogonale Projektion auf Bild phi, wenn für die symmetrische Matrix A ausserdem A²=A gilt. |
Erstmal vielen Dank für eure bisherige Hilfe! Das ist wirklich super, dass ihr mir helft, denn ich tue mich etwas schwer mit den Beweisen
Teil (a) habe ich dank eurer Hilfe erledigt, jetzt muss ich mich auf Teil (b) stürzen!
Hier habe ich folgenden Ansatz:
Richtung ->:
Wir wissen, dass phi eine orthogonale Projektion auf das Bild von phi ist. Grundsätzlich berechnet man diese ja so:
phi(v)=<v,w1>w1+...+<v,wr>wr für v aus V und w1...wr aus dem Unterraum W von V. Wie wende ich das jedoch jetzt hier an?
Richtung <-:
Wir wissen, dass A=A² gilt. Das bedeutet, dass A eine Projektionsmatrix ist.Von diesen hat nur die EInheitsmatrix vollen Rang. Darf ich einfach annehmen, dass die Einheitsmatrix den Endomorphismus phi definiert?
Vielen Dank für Hilfe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Di 04.05.2010 | | Autor: | natascha |
Ich habe mich noch mehr mit dem Stoff befasst, und denke, dass man das eventuell mit dem Spektralsatz beweisen muss? Ist das so, könnte der helfen? Vielen Dank!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mi 05.05.2010 | | Autor: | natascha |
Leider komme ich immer noch nicht weiter, ich möchte das aber unbedingt beweisen :( das muss doch irgendwie gehen! Ich würde mich sehr freuen, falls jemand online ist und mir ein paar Tipps geben könnte :) Vielen Dank im Voraus!
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> (b) Man beweise: phi ist genau dann eine orthogonale
> Projektion auf Bild phi, wenn für die symmetrische Matrix
> A ausserdem A²=A gilt.
> Richtung ->:
> Wir wissen, dass phi eine orthogonale Projektion auf das
> Bild von phi ist.
> Grundsätzlich berechnet man diese ja
> so:
> phi(v)=<v,w1>w1+...+<v,wr>wr für v aus V und w1...wr aus
> dem Unterraum W von V.
Hallo,
so berechnet man das gewiß nicht.
Oder anders gesagt: das gilt nicht für beliebige [mm] w_i\in [/mm] W.
Du unterschlägst eine ganz wesentliche Voraussetzung!
Wenn Du Dich an diese erinnert hast, kannst Du eine schöne Basis Deines Raumes V wählen, die Abbildungsmatrix aufstellen und irgendwie glaubhaft machen, daß [mm] A=A^2 [/mm] ist.
Ich frage mich aber, ob obige Berechnungsvorschrift wirklich bei Euch die Def. der orthogonalen Projektion war.
Eure Def. für "orthogonale Projektion" anzugeben, wäre wohl sinnvoll.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 07.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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