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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Beweis Differentialgleichung
Beweis Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis Differentialgleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:04 Mi 30.06.2010
Autor: Bleistiftkauer

Aufgabe
Sei y : D [mm] \to \Ir [/mm] mit D [mm] \subset \IR [/mm] eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit y(x) [mm] \not [/mm] +/- 1 für alle x [mm] \in [/mm]  D. Ferner genüge y der Differentialgleichung
[mm] (1-y(x)^{2})y''(x) [/mm] = [mm] (1-y'(x)^{2})y(x), [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D.
Zeigen Sie für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 mit vollständiger Indunktion, dass die Ableitungen
[mm] y^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(n-2)}(x) [/mm] für alle c [mm] \in [/mm] D.

IA: n = 2
y''(x) = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(0)}(x) [/mm]
y''(x) = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y(x) [/mm] | * [mm] (1-y(x)^{2}) [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] Vorraussetzung
[mm] (1-y(x)^{2})y''(x) [/mm] = [mm] (1-y'(x)^{2})y(x) [/mm]
Somit gilt der Induktionsanfang.

IS: n [mm] \to [/mm] n+1 und [mm] y^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(n-2)}(x). [/mm]

zz: [mm] y^{(n+1)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(n-1)}(x) [/mm]

[mm] y^{(n+1(}(x) [/mm] = [mm] (y^{(n)})' [/mm]
= [mm] (\bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(n-2)}(x))' [/mm]
= (Produkt, Quotientenregel) [mm] (\bruch{2y(x)y'(x)(1-y'(x)^{2})}{(1-y(x)^{2})^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{2y'(x)y''(x)}{1-y(x)^{2}}) y^{(n-2)}(x) [/mm] + [mm] \bruch{1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}}y^{(n-1)} [/mm]
Hier komme ich leider nicht weiter.
Kann mir jemand helfen?



        
Bezug
Beweis Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Mi 30.06.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Schau dir mal diesen ThreadEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

an, da wird dieselbe Aufgabe behandelt.

Die Idee ist komplett okay, aber wie kommst du auf den Blauen Teil?

$ (\bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(n-2)}(x))' $
$ =\blue{\bruch{2y(x)y'(x)(1-y'(x)^{2})}{(1-y(x)^{2})^{2}}-\bruch{2y'(x)y''(x)}{1-y(x)^{2}}) y^{(n-2)}(x)}}+\bruch{1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}}y^{(n-1)} $

Wenn du $ \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2} $ ableitest, sollte erstmal nur ein einzelner Bruch herauskommen, keine Differenz zweier Brüche


Marius

Bezug
                
Bezug
Beweis Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Mi 30.06.2010
Autor: Bleistiftkauer

Hier mal die Ableitungen:

[mm] (\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{u}{v} [/mm]

u'(x)= -2 y'(x) y''(x)
v'(x) = -2 y(x) y'(x)

[mm] (\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}})' [/mm] = [mm] \bruch{(-2 y'(x) y''(x)) (1-y(x)^{2}) - (-2 y(x) y'(x))(1-y'(x)^{2}}{(1-y(x))^{2}} [/mm]
und das wäre dann vereinfacht (kürzen) der blaue therm. man kanns aber auch so stehen lassen.

ja und da klemmts und da hilft auch nicht der andere thread. :(

[mm] (\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}} y^{(n-1)})' [/mm]
(Produktregel)
= [mm] \bruch{(-2 y'(x) y''(x)) (1-y(x)^{2}) - (-2 y(x) y'(x))(1-y'(x)^{2}}{(1-y(x))^{2}} y^{(n-2)}(x) [/mm] + [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}} y^{(n-1)}(x) [/mm]


Bezug
                        
Bezug
Beweis Differentialgleichung: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mi 30.06.2010
Autor: meili

Hallo,

> Hier mal die Ableitungen:
>  
> [mm](\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}})[/mm] = [mm]\bruch{u}{v}[/mm]
>  
> u'(x)= -2 y'(x) y''(x)
>  v'(x) = -2 y(x) y'(x)
>  
> [mm](\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}})'[/mm] = [mm]\bruch{(-2 y'(x) y''(x)) (1-y(x)^{2}) - (-2 y(x) y'(x))(1-y'(x)^{2}}{(1-y(x))^{2}}[/mm]
>  
> und das wäre dann vereinfacht (kürzen) der blaue therm.
> man kanns aber auch so stehen lassen.
>  
> ja und da klemmts und da hilft auch nicht der andere
> thread. :(

alles ok bis hier her

sollte wohl
[mm](\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}} y^{(n-2)})'[/mm]
sein

>  
> [mm](\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}} y^{(n-1)})'[/mm]
>  
> (Produktregel)
>  = [mm]\bruch{(-2 y'(x) y''(x)) (1-y(x)^{2}) - (-2 y(x) y'(x))(1-y'(x)^{2}}{(1-y(x))^{2}} y^{(n-2)}(x)[/mm]
> + [mm]\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}} y^{(n-1)}(x)[/mm]
>  

und stimmt dann auch

Um den "ärgerlichen" Bruch verschwinden zu lassen, den Zähler mit der vorausgesetzten Dgl.  vergleichen

Gruß meili

Bezug
        
Bezug
Beweis Differentialgleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 02.07.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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