www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra und Zahlentheorie" - Beweis Darstellung Primzahlen
Beweis Darstellung Primzahlen < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra und Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis Darstellung Primzahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Mo 06.03.2006
Autor: Klasu2000

Aufgabe
Sei p eine Primzahl, sodass p>3. Zeigen sie:
a) p ist von der form 6k+1 oder 6k-1
b) folgern Sie daraus, dass 24|(p² - 1)

Kann mir hier jemand helfen: Ich hab nicht wirklich einen Plan. Meine Vermutung ist: vollständige Induktion, hab es aber nicht zusammen gebracht. Der zweite Teil ist leichter: einfach den ersten Ausdruck einsetzten.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis Darstellung Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Mo 06.03.2006
Autor: felixf


> Sei p eine Primzahl, sodass p>3. Zeigen sie:
> a) p ist von der form 6k+1 oder 6k-1
>  b) folgern Sie daraus, dass 24|(p² - 1)
>
> Kann mir hier jemand helfen: Ich hab nicht wirklich einen
> Plan. Meine Vermutung ist: vollständige Induktion, hab es
> aber nicht zusammen gebracht.

Nein, es geht viel einfacher: Du schreibst $p = 6 k + r$ mit $0 [mm] \le [/mm] r < 6$ und $k, r [mm] \in \IZ$ [/mm] (Division mit Rest). Jetzt ueberlegst du dir, was passiert, wenn $r [mm] \in \{ 0, 2, 3, 4 \}$ [/mm] ist. Bleiben also die Moeglichkeiten $r [mm] \in \{ 1, 5 \}$ [/mm] ueber, und die liefern die Behauptung (siehst du warum?).

> Der zweite Teil ist leichter: einfach den ersten Ausdruck einsetzten.

Genau.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Beweis Darstellung Primzahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 So 18.11.2007
Autor: Luuly

Hallo,

zu dieser Aufgabe habe ich folgende Überlegung:

6k ist durch 6 teilbar und kann nicht prin sein.
6k±2 ist durch 2 teilbar und kann nicht prim sein.
6k±3 ist durch 3 teilbar und kann nicht prim sein.
6k+4=6(k+1)-2 und 6k-4=6(k-1)+ 2 sind durch 2 teilbar, also auch nicht prim.
es bleiben r=±1 und r= ±5 übrig. 6k±5 ist wiederum 6k±1.
Somit müssen alle Primzahlen die Form 6k+1=6(k+1)-5 oder 6k-1=6(k-1)+5 besitzen.

ist das richtig?

viele Grüße

Luuly

Bezug
                        
Bezug
Beweis Darstellung Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Mo 19.11.2007
Autor: felixf

Hallo Luuly

> 6k ist durch 6 teilbar und kann nicht prin sein.
>  6k±2 ist durch 2 teilbar und kann nicht prim sein.
>  6k±3 ist durch 3 teilbar und kann nicht prim sein.
>  6k+4=6(k+1)-2 und 6k-4=6(k-1)+ 2 sind durch 2 teilbar,
> also auch nicht prim.
>  es bleiben r=±1 und r= ±5 übrig. 6k±5 ist wiederum 6k±1.
>  Somit müssen alle Primzahlen die Form 6k+1=6(k+1)-5 oder
> 6k-1=6(k-1)+5 besitzen.
>
> ist das richtig?

Ja. Wobei das natuerlich nur fuer Primzahlen $> 3$ gilt :-)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Beweis Darstellung Primzahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 Sa 24.11.2007
Autor: juli123

Aufgabe
Somit müssen alle Primzahlen die Form 6k+1=6(k+1)-5 oder
6k-1=6(k-1)+5 besitzen.  

Woraus erkenne ich, dass ich so alle Primzahlen darstellen kann? Das es für  $ r [mm] \in \{ 0, 2, 3, 4 \} [/mm] $ keine Primzahl sein kann, ist klar. Aber warum ich dann  für $ r [mm] \in \{ -1, 1 \} [/mm] $ alle Primzahlen bekomme, verstehe ich nicht? Es könnten ja auch Primzahlen fehlen? Und mit der angegebenen Form bekomme ich ja nicht nur Primzahlen.

Bezug
                                        
Bezug
Beweis Darstellung Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Sa 24.11.2007
Autor: felixf

Hallo.

> Somit müssen alle Primzahlen die Form 6k+1=6(k+1)-5 oder
>  6k-1=6(k-1)+5 besitzen.
>
> Woraus erkenne ich, dass ich so alle Primzahlen darstellen
> kann? Das es für  [mm]r \in \{ 0, 2, 3, 4 \}[/mm] keine Primzahl
> sein kann, ist klar. Aber warum ich dann  für [mm]r \in \{ -1, 1 \}[/mm]
> alle Primzahlen bekomme, verstehe ich nicht? Es könnten ja
> auch Primzahlen fehlen? Und mit der angegebenen Form
> bekomme ich ja nicht nur Primzahlen.

Wir haben gezeigt, ist $n > 3$ eine natuerliche Zahl mit $n = 6 k + r$, $0 [mm] \le [/mm] r < 5$, so folgt aus $r [mm] \in \{ 0, 2, 3, 4 \}$, [/mm] dass $n$ keine Primzahl ist.

Kontraposition dieser Aussage: ist $n > 3$ eine Primzahl, so ist $r = 1$ oder $5$ (bzw. $-1$).

Wir haben also gezeigt, dass jede Primzahl $> 3$ diese Form hat. Das heisst aber noch lange nicht, dass jede Zahl dieser Form eine Primzahl ist! (Aber das haben wir auch gar nicht behauptet!)

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra und Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]