Beweis Binomialkoeffizienten < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage:
[mm] \summe_{i=0}^{n} (-1)^i {n\choose i} = 0 [/mm] |
Ich bin der Überzeugung die Aussage ist falsch.
Weil: [mm] a^0 = 1 und {n\choose 0} = 1 [/mm]
dann ist 1 x 1 = 0. Und das stimmt offensichtlich nicht.
Wo ist mein Fehler? Oder liege ich richtig?
Schon mal vielen Dank für die Mühe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Do 28.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Micha!
Für den Beweis wende den ![[]](/images/popup.gif) Binomischen Lehrsatz an mit $x \ := \ 1$ und $y \ := \ -1$ .
Dein Denkfehler liegt darin, dass wohl jeder Summand gleich Null ergeben soll. Das stimmt so nicht. Lediglich die Summen ergeben jeweils Null.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo Loddar,
Danke für die schnelle Antwort.
Das nicht jeder Summand Null ergibt ist mir soweit klar. Es müsste ja nur einen geben damit die Aussage wahr wird. Das ist doch aber ausgeschlossen.
An der Stelle stehe ich dann wirklich auf dem Schlauch.
Gruß
Micha
|
|
|
| |
|
Hallo Micha,
für n=0 ist die Aussage $ [mm] \summe_{i=0}^{n} (-1)^i {n\choose i} [/mm] = 0 $
tatsächlich falsch.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Do 28.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie folgende Aussage:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} (-1)^i {n\choose i} = 0[/mm]
> Ich bin der
> Überzeugung die Aussage ist falsch.
>
> Weil: [mm]a^0 = 1 und {n\choose 0} = 1[/mm]
>
> dann ist 1 x 1 = 0. Und das stimmt offensichtlich nicht.
Du hast (möglicherweise) recht. Entweder ist die Aufgabe schlampig formuliert (für ihre Gültigkeit ist die zusätzliche Voraussetzung n>0 erforderlich) oder die Voraussetzung ist da und du hast sie nicht beachtet.
Gruß Abakus
>
> Wo ist mein Fehler? Oder liege ich richtig?
>
> Schon mal vielen Dank für die Mühe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo,
in der Aufgabenstellung ist keine weitere Vorraussetzung angegeben. Abgesehen davon, würde sich doch aber durch n>0 auch nichts ändern. Es liegt doch vielmehr an den oben beschriebenen Rechengesetzen für Expo-Funktionen und Binomialkoeffizienten.
Mir ist aber gerade aufgefallen, wenn ich in den Taschenrechner -1° eingebe, gibt er auch -1 als Lösung raus. Das ist doch falsch, oder?
Gruß
Micha
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> in der Aufgabenstellung ist keine weitere Vorraussetzung
> angegeben. Abgesehen davon, würde sich doch aber durch n>0
> auch nichts ändern. Es liegt doch vielmehr an den oben
> beschriebenen Rechengesetzen für Expo-Funktionen und
> Binomialkoeffizienten. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Für [mm] n\in \IN [/mm] (und damit n>0) ist die Formel gültig.
> Mir ist aber gerade aufgefallen, wenn ich in den
> Taschenrechner -1° eingebe, gibt er auch -1 als Lösung
> raus. Das ist doch falsch, oder?
Kommt drauf an, was du genau meinst und wie du es in den
Rechner eingibst.
Beachte:
$\ [mm] -1^0\ [/mm] =\ [mm] -(1^0)\ [/mm] =\ -(1)\ =\ -1$
(so hat der Rechner deine Eingabe interpretiert)
aber
$\ [mm] (-1)^0\ [/mm] =\ 1$
(diese Potenz mit der Basis -1 hattest du gemeint)
Wenn du die negative Basis meinst, musst du diese beim
Aufschreiben und bei der Eingabe in den Rechner in
Klammern setzen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Aufgabe
Beweisen Sie folgende Aussage:
$ [mm] \summe_{i=0}^{n} (-1)^i {n\choose i} [/mm] = 0 $ |
Danke Al-Chw.,
mit dem Rechner das klappt schon mal.
Aber wieso ist die Aussage für n>0 wahr?
[mm] (-1)^i [/mm] wird niemals Null. Und [mm] { n\choose i } [/mm] wird doch auch nicht Null.
Wie kann dann eine Summation dieses Produktes jemals Null werden?
Vieleicht mache ich mich auch gerade voll zum Deppen, aber so lese ich diese Aussage.
tausend dank für Eure Mühe
Micha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Do 28.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Aufgabe
> Beweisen Sie folgende Aussage:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} (-1)^i {n\choose i} = 0[/mm]
> Danke Al-Chw.,
>
> mit dem Rechner das klappt schon mal.
> Aber wieso ist die Aussage für n>0 wahr?
>
> [mm](-1)^i[/mm] wird niemals Null. Und [mm]{ n\choose i }[/mm] wird doch auch
> nicht Null.
> Wie kann dann eine Summation dieses Produktes jemals Null
> werden?
Hallo,
du kennst das Pascalsche Dreieck?
Ab n=1 hat es die Werte
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...
Nun setze mal noch in jeder Zeile vor die Zahlen abwechselnd ein Plus- und ein Minuszeichen (wegen [mm] (-1)^i).
[/mm]
Es ist
1-1=0
1-2+1=0
1-3+3-1=0
1-4+6-4+1=0
Gruß Abakus
>
> Vieleicht mache ich mich auch gerade voll zum Deppen, aber
> so lese ich diese Aussage.
>
> tausend dank für Eure Mühe
> Micha
|
|
|
| |
|
Danke,
wenn ich jetzt Zahlen in die Aussage einsetze bekomme ich doch je nachdem wann ich mit der Summation aufhöre "1" oder"0" Lösung heraus. Also muß ich eine Unterscheidung im Laufindex nach geraden und ungeraden Zahlen machen. Schließe ich die Summation mit einer geraden Zahl ab ist die Aussage falsch, bei einer ungeraden ist sie wahr.
Ich hoffe das ich jetzt auf dem richtigen Weg bin.
Gruß und Danke
Micha
|
|
|
| |
|
Hallo Micha,
tu uns mal bitte allen einen Gefallen, und schreibe auf, wie du
$ [mm] \summe_{i=0}^{n} (-1)^i {n\choose i}$ [/mm] für den Fall n=3 bspw. ausrechnest, also berechne
$ [mm] \summe_{i=0}^{3} (-1)^i {3\choose i} [/mm] $
Du machst nämlich irgendwo einen fundamentalen Denkfehler und niemand weiss, wo 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Aufgabe
Beweisen Sie folgende Aussage:
$ [mm] \summe_{i=0}^{n} (-1)^i {n\choose i} [/mm] = 0 $ |
Dann Versuche ich das mal zu berechnen ,
[mm] (-1)^0 * {0\choose 0} + (-1)^1 * {1\choose 1} + (-1)^2 * {2\choose 2} + (-1)^3 * {3\choose 3} [/mm]
= 1+(-1)+1+(-1) = 0
So geht das doch, oder?
Ich hoffe ihr bekommt jetzt keinen schwerwiegenden Augenschaden weils total falsch ist.
Micha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Do 28.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Aufgabe
> Beweisen Sie folgende Aussage:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} (-1)^i {n\choose i} = 0[/mm]
> Dann Versuche ich
> das mal zu berechnen ,
>
> [mm](-1)^0 * {0\choose 0} + (-1)^1 * {1\choose 1} + (-1)^2 * {2\choose 2} + (-1)^3 * {3\choose 3}[/mm]
>
> = 1+(-1)+1+(-1) = 0
>
> So geht das doch, oder?
Nein.
> Ich hoffe ihr bekommt jetzt keinen schwerwiegenden
> Augenschaden weils total falsch ist.
Hallo,
die Binomialkoeffizienten, die du abwechseln addieren/subtrahieren musst, SING die Zahlen einer ZEILE des Pascalschen Dreicks (siehe meinen letzten Beitrag zu diesem Thema).
Gruß Abakus
>
> Micha
>
>
|
|
|
|
