Beweis Betragsungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 So 22.04.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für a,b [mm] \in \IR [/mm] gilt:
[mm] |a+b|+|a-b|\ge|a|+|b|
[/mm]
Hinweise: Zeige dafür zuerst, dass [mm] |a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}| [/mm] |
Hallo,
mich quält es einfach, dass ich hier nicht weiterkomme.
Um überhaupt erst einmal anzufangen, habe ich versucht den Hinweis zu beachten und [mm] |a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}| [/mm] zu beweisen.
Der erste Versuch war mit Fallunterscheidung, wobei ich nicht weitergekommen bin, weil ich nicht wusste, was mir das sagen soll und vermutlich habe ich auch einen Fehler gemacht - deshalb erste Frage, kann man das machen??
-x<0
-x*-1<0*-1
x>0
So, da ich damit nicht weitergekommen bin, habe ich es mit [mm] |x|=\wurzel{x^2} [/mm] versucht und folgendes kam raus:
[mm] |a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}|
[/mm]
[mm] \wurzel{a^2}\le\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}+\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}
[/mm]
[mm] \wurzel{a^2}^2\le\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}^2+\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}^2
[/mm]
[mm] a^2\le(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2+(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2
[/mm]
[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{a^2}\le\wurzel{\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}}
[/mm]
[mm] |a|\le\wurzel{\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}}
[/mm]
Irgendwie erschein es mir unstimmig, weshalb ich zur Probe a=3 und b=5 in die unterste Zeile einsetzte. Ergebnis war [mm] 3\le2 [/mm] und [mm] -3\le [/mm] 2
Die Fragezeichen auf meiner Stirn sind riesig.
Was mache ich falsch und was wäre besser??
Silfide
P.S. Für Hilfe wäre ich wie immer sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 So 22.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass für a,b [mm]\in \IR[/mm] gilt:
> [mm]|a+b|+|a-b|\ge|a|+|b|[/mm]
> Hinweise: Zeige dafür zuerst, dass [mm]|a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}|[/mm]
>
> Hallo,
>
> mich quält es einfach, dass ich hier nicht weiterkomme.
> Um überhaupt erst einmal anzufangen, habe ich versucht
> den Hinweis zu beachten und [mm]|a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}|[/mm]
> zu beweisen.
>
> Der erste Versuch war mit Fallunterscheidung, wobei ich
> nicht weitergekommen bin, weil ich nicht wusste, was mir
> das sagen soll und vermutlich habe ich auch einen Fehler
> gemacht - deshalb erste Frage, kann man das machen??
> -x<0
> -x*-1<0*-1
> x>0
>
>
> So, da ich damit nicht weitergekommen bin, habe ich es mit
> [mm]|x|=\wurzel{x^2}[/mm] versucht und folgendes kam raus:
>
> [mm]|a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}|[/mm]
>
> [mm]\wurzel{a^2}\le\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}+\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{a^2}^2\le\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}^2+\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}^2[/mm]
Hallo,
wenn du eine Summe quadrierst, musst du das mit der binomischen Formel tun.
Auf der rechten Seite fehlt dir der Summand [mm]\red{+2*\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}*\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}}[/mm].
Gruß Abakus
>
> [mm]a^2\le(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2+(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2[/mm]
> [mm]a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}[/mm]
> [mm]\wurzel{a^2}\le\wurzel{\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}}[/mm]
> [mm]|a|\le\wurzel{\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}}[/mm]
>
> Irgendwie erschein es mir unstimmig, weshalb ich zur Probe
> a=3 und b=5 in die unterste Zeile einsetzte. Ergebnis war
> [mm]3\le2[/mm] und [mm]-3\le[/mm] 2
>
> Die Fragezeichen auf meiner Stirn sind riesig.
>
> Was mache ich falsch und was wäre besser??
>
> Silfide
>
> P.S. Für Hilfe wäre ich wie immer sehr dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 So 22.04.2012 | | Autor: | silfide |
> Hallo,
> wenn du eine Summe quadrierst, musst du das mit der
> binomischen Formel tun.
> Auf der rechten Seite fehlt dir der Summand
> [mm]\red{+2*\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}*\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}}[/mm].
> Gruß Abakus
Hallo Abakus, wieso quadiere ich eine Summe? Ich quadiere doch die Wurzel um diese zu elimieren - anderes habe ich es auch nicht in meinen Nachschlagewerken oder Wikipedia gefunden. Kannst du mir das erklären?
Silfide
Nachtrag: okay, ich weiß jetzt was du meinst - ich muss die gesamte rechte Seite quadieren und nicht nur die einzelnen Teile. Melde mich nochmal, wenn ich es nachvollzogen habe. Danke
Nachtrag 2
Wie bereits erwähnt, habe ich Abakus Hinweis nochmal nachvollzogen und bin nun neugierig, ob ich es richtig gemacht habe.
[mm] \wurzel{a^2}^2\le(\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}+\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2})^2
[/mm]
[mm] a^2\le(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2+2*(\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}*\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2})+(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2
[/mm]
[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+2*(\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}*\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2})
[/mm]
[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+2*((\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2)^{\bruch{1}{2}}*(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+2*((\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}))*(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}))
[/mm]
[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+2*(\bruch{a}{4}+\bruch{a}{2}*-\bruch{b}{2}+\bruch{b}{2}*\bruch{a}{2}-\bruch{b}{4})
[/mm]
[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+2*(\bruch{a}{4}-\bruch{b}{4})
[/mm]
[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}
[/mm]
[mm] a^2\le [/mm] a
|a| [mm] \le \wurzel{a}
[/mm]
Ist das richtig??
Silfide
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:57 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da sind so viele fehlende Quadrate rechts, dass man nicht mehr korrigieren kann!
mach lieber die fallunterscheidungen, dabei kannst du jeweils [mm] a\le [/mm] b oder ungekehrt verwenden, Fälle a,b>0 a,b<0 a<0,b>0
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Mo 23.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Ohne quadrieren, ohne Wurzeln und ohne Fallunterscheidung:
$|a|= [mm] |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}|$.
[/mm]
Jetzt Dreiecksungl.
FRED
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