Beweis Ableitung Polynom < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Sa 19.01.2008 | | Autor: | robert23 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die n-te Ableitung eines Polynoms vom Grad n eine Konstante ist. Wie lautet diese Konstante allgemein? |
Also ich hab mir gedacht das muss man sicherlich über den Differentialquotienten lösen.
[mm] f(x)=ax^n+bx^1+c
[/mm]
[mm] f'(x)=\limes_{h \to \0}\bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm]
[mm] =\limes_{h \to \0}\bruch{a(x+h)^n+b(x+h)^1+c - (ax^n+bx^1+c)}{h}
[/mm]
da weiß ich nicht so recht wie ich weiter machen soll und bin mir überhaupt unsicher ob der Ansatz richtig ist.
Also bin dankbar für Tipps!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:16 So 20.01.2008 | | Autor: | Biboo |
Hey Robert. Ich bin zwar auch Newbie, aber ich bemühe mich mal um einen ersten Lösungsansatz.
Ich würde behaupten, dass man die allgemeine Formel zur Bildung von Ableitungen benutzen darf.
Ich würde dann so anfangen, dass ich mir eine einfache Polynomfunktion aufschreibe, diese dem Grad entsprechend oft ableite. Anschließend würde ich erst die allgemeine Polynomfunktion mithilfe des Summenzeichens formulieren und anschließend die Ableitungen, dafür brauchst du dann glaube ich auch das Produktzeichen.
Damit ist dann doch eigentlich bewiesen, dass die n-te Ableitung des Polynoms [mm] x^{0} [/mm] also [mm] x^{n-n} [/mm] ist,a lso konstant.
Oder ist das zu simpel?
Wenn ja, dann ist das Posting überflüssig und es tut mir leid!
Liebe Grüße
Biboo
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Hallo,
wie biboo Dir schon sagt, brauchst Du für diese Aufgabe nicht zurückgehen bis zu Adam und Eva.
Du darfst sicher benutzen, was die Ableitung von [mm] x^n [/mm] ist, und auch sonstige Ableitungsregeln, die Ihr gezeigt habt.
Da Du die Behauptung für alle n zeigen sollst, bietet sich ein Beweis über Induktion an.
Zeige, daß die Behauptung für n=1 gilt.
Nimm an, sie würde für alle [mm] n\in \IN [/mm] gelten, dh. für alle reellen Polynome p,
[mm] p_n(x):=\summe_{i=1}^{n}a_ix^i, [/mm] gibt es ein [mm] c_n \in \IR [/mm] mit
[mm] P_n^{(n)}(x)=c_n.
[/mm]
Im Induktionsschluß zeige dann, daß unter dieser Voraussetzung die (n+1)-te Ableitung von [mm] p_{n+1}(x):=\summe_{i=1}^{n+1}a_ix^i [/mm] eine Konstante ist.
Anleitung: leite [mm] p_{n+1}(x) [/mm] einmal ab. Du erhältst ein Polynom vom Grad n, auf welches Du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.
Gruß v. Angela
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