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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Do 24.06.2004 | | Autor: | mausi |
Hallo,
wie löst man bitte diese Aufgabe???
Sei A [mm] \in [/mm] Mat(m; n; K). Unter einem k-Minor von A versteht man die Determinante einer durch Streichen von m - k Zeilen und n - k Spalten entstandene Teilmatrix von A
Zeige: A hat genau dann Rang r, wenn r die grösste natürliche Zahl ist, so dass A einen r-Minor ungleich Null hat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Mausi!
Es sei $Rang(A)=r$. Bezeichnen wir die Spaltenvektoren von $A$ mit [mm] $a^1,\ldots,a^n$, [/mm] so gibt es Indizes [mm] $j_1,\ldots,j_r$ [/mm] (ohne Einschränkung sei [mm] $j_1 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] j_{r}$), [/mm] so dass [mm] $a^{j_1},\ldots a^{j_r}$ [/mm] linear unabhängig sind.
Die $m [mm] \times [/mm] r$-Matrix
[mm] $\tilde{A} [/mm] = [mm] (a_{ij_k})_{i=1,\ldots,m;k=1,\ldots,r}$
[/mm]
hat den Rang $r$. Da der Zeilenrang einer Matrix gleich dem Spaltenrang ist, gibt es auch $r$ linear unabhängige Zeilen dieser Matrix.
Bezeichnen wir die Zeilen von [mm] $\tilde{A}$ [/mm] mit [mm] $\tilde{a}_1,\ldots,\tilde{a}_m$, [/mm] so gibt es Indizes [mm] $i_1,\ldots,i_r$ [/mm] (ohne Einschränkung sei [mm] $i_1 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] j_{r}$), [/mm] so dass [mm] $\tilde{a}_{i_1},\ldots \tilde{a}_{i_{r}}$ [/mm] linear unabhängig sind. Daraus folgt:
Die $r [mm] \times [/mm] r$-Matrix
[mm] $\hat{A} [/mm] = [mm] (a_{i_l j_k})_{l,k=1,\ldots, r}$
[/mm]
hat den vollen Rang $r$ und daher gilt: [mm] $det(\hat{A}) \ne [/mm] 0$.
Es gibt also einen $r$-Minor, dessen Determinante ungleich Null ist.
Zu zeigen bleibt, dass für jeder weiteren $p$-Minor, dessen Determinante ungleich $0$ ist, gilt: $p [mm] \le [/mm] r$.
Dies ist aber klar: Es seien [mm] $j_1,\ldots j_p$ [/mm] die Spaltenindizes dieses Minors. Dann besitzt die $m [mm] \times [/mm] p$-Matrix
[mm] $\tilde{A} [/mm] = [mm] (a_{ij_k})_{i=1,\ldots,m;k=1,\ldots,p}$
[/mm]
den Rang $p$ (da bei geeigneter Streichung von Zeilen eine reguläre $p [mm] \times [/mm] p$-Untermatrix entsteht) und es folgt: $p [mm] \le [/mm] r$.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Fr 25.06.2004 | | Autor: | mausi |
Vielen Dank für deine Hilfe julius
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