Beweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Di 19.04.2005 | | Autor: | Griesig |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Folgende Aufgabe soll ich lösen, komme aber einfach nicht weiter!
Sei [mm] v \in V(C) [/mm] ein Vektor mit v orthogonal zu seinem konjugiert komplexen v' (bzgl. dem Standardskalarprodukt). Seien v1=Re(v) und v2=Im(v).Man zeige:
a) [mm] \begin {Vmatrix} v' \end{Vmatrix} ^2 = \begin {Vmatrix} v \end{Vmatrix} ^2 [/mm]
b) v1 orthogonal zu v2
c) [mm] \begin {Vmatrix} v1 \end{Vmatrix} ^2 = \begin {Vmatrix} v2 \end{Vmatrix} ^2 = \bruch { \begin{Vmatrix} v \end {Vmatrix} ^2 }{2} [/mm]
Ich habe diese Frage nirgenswo sonst gestellt. Könnt ihr mir vielleicht helfen? Die a ist einfach, die habe ich!
Aber beim Rest habe ich keine Ahnung! Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Di 19.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen!
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> Folgende Aufgabe soll ich lösen, komme aber einfach nicht
> weiter!
>
> Sei [mm]v \in V(C)[/mm] ein Vektor mit v orthogonal zu seinem
> konjugiert komplexen v' (bzgl. dem Standardskalarprodukt).
> Seien v1=Re(v) und v2=Im(v).
Ich nehme an, dass mit $V(C)$ der "Vektorraum der komplexen Zahlen" gemeint ist (andernfalls solltest du erläutern, was damit gemeint ist; kann sein, dass das Folgende dann leider komplett falsch ist; aber wenn du nichts dazu schreibst, bleibt mir nur, zu raten...). Davon gehe ich im Folgenden jedenfalls aus. Das heißt ja dann, dass vorausgesetzt ist: Für $v [mm] \in [/mm] V(C)$ gilt:
[mm] $v=\vektor{r\\s}$ [/mm] (mit $r,s [mm] \in \IR$), $v'=\vektor{r\\-s}$ [/mm] und es gilt:
[mm](\star)[/mm] $v [mm] \* v'=r^2-s^2=0$, [/mm] wobei [mm] $\*$ [/mm] für das Standard-Skalarprodukt (in [mm] $\IR^2 \cong [/mm] V(C)$) stehe.
> Man zeige:
>
> a) [mm]\begin {Vmatrix} v' \end{Vmatrix} ^2 = \begin {Vmatrix} v \end{Vmatrix} ^2[/mm]
Hier nehme ich an, dass ihr für [mm] $v=\vektor{r\\s} \in [/mm] V(C)$, [m]v_1=\vektor{r\\0}[/m], [mm] $v_2=\vektor{0\\s}$, [/mm] $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] definiert habt:
[mm] $||v||:=\wurzel{v \*v}=\wurzel{r^2+s^2}$.
[/mm]
Damit folgt dann:
[mm]||v||^2=r^2+s^2=r^2+(-1)^2 *s^2=r^2+(-s)^2=||v'||^2[/mm]
> b) v1 orthogonal zu v2
Naja, irgendwie verwirrt mich eure Notation etwas (was sie auch schon oben getan hat). Offenbar werden bei euch [mm] $\mbox{Re}(v)$ [/mm] bzw. [mm] $\mbox{Im}(v)$ [/mm] als Vektoren aufgefasst. Naja, ich bleibe dann dabei:
Ist [mm] $v=\vektor{r\\s} \in [/mm] V(C)$ ($r,s [mm] \in \IR$), [/mm] so sei [mm] $\mbox{Re}(v)=\vektor{r\\0}$,[/mm] [mm]\mbox{Im}(v)=\vektor{0\\s}[/mm]. Und nun berechnest du halt:
[mm]v_1 \* v_2=\mbox{Re}(v) \* \mbox{Im}(v) =\vektor{r\\0} \* \vektor{0\\s}[/mm] und zeigst, dass da $0$ herauskommt!
> c) [mm]\begin {Vmatrix} v1 \end{Vmatrix} ^2 = \begin {Vmatrix} v2 \end{Vmatrix} ^2 = \bruch { \begin{Vmatrix} v \end {Vmatrix} ^2 }{2}[/mm]
Auch das ist nicht so schwer:
Wegen der Voraussetzung der Orthogonalität des Vektors [mm] $v=\vektor{r\\s}=v_1+v_2$ [/mm] zu seinem konj. komplexen gilt ja (siehe [mm] $(\star)$):
[/mm]
[mm] $(\star_2)$ $r^2=s^2$.
[/mm]
Also:
[mm] $||v_1||^2=r^2+0^2=r^2$,
[/mm]
[mm] $||v_2||^2=0^2+s^2\stackrel{(\star_2)}{=}r^2$ [/mm] und:
[mm] $||v||^2=r^2+s^2\stackrel{(\star_2)}{=}2r^2$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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