Beweis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Di 19.04.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Ich bräuchte Mal wieder ein paar hilfreiche Gedankengänge ... Hier zwei Aufgaben:
1.) Sei x eine reelle Zahl und n [mm] \in \IN. [/mm] Beweisen Sie:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{k+1} \vektor{n\\k}=\bruch{1}{n+1}.
[/mm]
2.) Für reelle Zahlen x, y und n [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt:
[mm] \vektor{x+y\\n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{x\\k}\vektor{y\\n-k}.
[/mm]
Zu 1.)
Der Induktionsanfang ist klar. Ich nehme für n=1 an und komme letztendlich auf eine wahre Aussage. Die Induktionsvoraussetzung ist ja die oben beschriebene Aussage. Und nun zum Induktionsschritt für n+1.
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{(-1)^{k}}{k+1} \vektor{n+1\\k}= \bruch{1}{n+2}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{(-1)^{k}}{k+1} \vektor{n+1\\k}= \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{k+1}+ \bruch{(-1)^{n+1}}{n+2}= \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{k+1} \vektor{n+1\\k} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{n+2}= \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{k+1}(\vektor{n\\k} [/mm] + [mm] \bruch{n}{k-1}) [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{n+2} [/mm] ... tja, und nun komme ich nicht weiter. Vielleicht gibt es eine passende Umformung für [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] , so dass man dann gut wegkürzen kann???
Und zu 2.) Da fehlt mir einfach ein Ansatz.
Bitte um Hilfe!!
|
|
| |
|
Hallo!
Zu a): So wie ich das sehe geht's auch ohne Induktion, denn:
[mm] $\bruch{n+1}{k+1}\vektor{n\\k}=\vektor{n+1\\k+1}$.
[/mm]
Dann muss man nur noch den Index einmal verschieben und benutzen, dass
[mm] $0=(1+(-1))^n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\bruch{n\\k}$.
[/mm]
Und die b) würde ich mal mit Induktion über $n$ probieren. Ich hab's aber nicht ausprobiert und leider jetzt auch keine Zeit mehr...
Hoffe, ich konnte dir trotzdem helfen...
Gruß, banachella
|
|
|
|
