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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Di 26.10.2004 | | Autor: | Reaper |
geg.: [mm] \cup [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] [1/n,n[ = ]0, [mm] \infty[
[/mm]
Beim Beweis müssen wir zeigen dass der Linke Teil Teilmenge vom rechten
Teil ist und umgekehrt. Was ich aber noch nicht noch ganz so durchschaue
ist die Schreibweise.
1. Fall [mm] \cup [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] [1/n,n[ [mm] \subseteq [/mm] ]0, [mm] \infty[
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] [1/n,n[ [mm] \subseteq [/mm] ]0, [mm] \infty[
[/mm]
Also wenn ich alle Mengen die Parameter [1/n,n[ liegen vereinige so ist diese große Menge wieder eine Teilmenge dieser Menge, oder?
2.Fall ]0, [mm] \infty[ \subseteq [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] x [mm] \in [/mm] [1/n,n[
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] ]0, [mm] \infty[ \exists [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] x [mm] \in [/mm] [1/n,n[
Für alle Teilmengen aus dem Intervall ]0, [mm] \infty[ [/mm] gibt es mindestens eine Teilmenge in n [mm] \in \IN: [/mm] x [mm] \in [/mm] [1/n,n[, oder ?
Ich kapier das Ganze einfach noch nicht so ganz
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Grüße!
Nun ja... Du möchtest folgende Aussage beweisen:
[mm] $\bigcup_{n \in \IN} [\frac{1}{n}, [/mm] n[ = ]0, [mm] \infty[$.
[/mm]
Die Gleichheit zweier Mengen zeigt man, wie Du schon richtig gesagt hast, indem man zeigt, dass die Mengen ineinander enthalten sind - sprich, man zeigt, dass jedes Element, das in der linken Menge liegt auch in der rechten enthalten ist und umgekehrt.
Für den ersten Fall ist die Sache sehr einfach: für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, wie richtig bemerkt: [mm] $[\frac{1}{n},n[ \subseteq [/mm] ]0, [mm] \infty [/mm] [$.
Wenn wir also ein ELEMENT $y [mm] \in \bigcup_{n \in \IN} [\frac{1}{n},n[$ [/mm] hernehmen, so liegt es in der Vereinigung, also in mindestens einer dieser Mengen. Es gibt also mindestens ein (spezielles) $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $y [mm] \in [\frac{1}{n},n[$. [/mm] Aber wegen der Vorbemerkung folgt damit: $y [mm] \in ]0,\infty [/mm] [$.
Und das zeigt die eine Inklusion.
Bei der anderen machen wir es genauso: wir nehmen ein beliebiges $x [mm] \in [/mm] ]0, [mm] \infty[$. [/mm] Das heißt, dass $x [mm] \in \IR, [/mm] x > 0$ gilt. Dann aber finden wir auf jeden Fall ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit der Eigenschaft:
[mm] $\frac{1}{n} \leq [/mm] x < n$. Dazu müssen wir das $n$ nur groß genug wählen, das $x$ war ja fest.
Und die Folge ist, dass es also ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit $x [mm] \in [\frac{1}{n},n[$ [/mm] und damit auch $x [mm] \in \bigcup_{n \in \IN} [\frac{1}{n},n[$. [/mm] Und das ist die andere Inklusion.
Alles klar? Man geht elementweise vor, dann funktioniert das auch. Und wenn man zwei Mengen hat, für die gilt, dass jedes Element der einen auch in der anderen liegt und umgekehrt - dann sind diese Mengen gleich. 
Lars
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