Bewegung: Bremsweg + Ampel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Autofahrers Albtraum: Sie nähern sich mit einer Geschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] einer Kreuzung, wenn in einem Abstand [mm] x_0 [/mm] von dieser Kreuzung die Ampel von Grün auf Gelb schaltet (die Länge der Gelbphase sei [mm] \DeltaT). [/mm] Sie können bremsen (Verzögerung v punkt = [mm] -a_1) [/mm] oder beschleunigen (Beschleunigung [mm] a_2).
[/mm]
Berechnen Sie modellmäßig, welche Entscheidungn Sie in Abhängigkeit von [mm] x_0 [/mm] treffen können (die Reaktionszeit sei vernachlässigbar), damit Sie sich bei Rot nicht in der Kreuzung befinden (Straßenbreite L, Länge des PKW l)! Zahlenbeispiel:
[mm] v_0=60m/h [/mm] , [mm] a_1=6m/s^2, a_2=2m/s^2, \DeltaT=3s,L=12m, [/mm] l=4m.
Welche unangenehme Situation kann bei schlechtem Bremsen entstehen (z.B. [mm] a_1'=0.1a_1)?
[/mm]
Quelle: Vorkurs Physik 2006, Uni Münster |
Hi.
Meine Frage bezieht sich eigenlicht nur auf die letzte Frage: Welche unangenehme Situation kann bei schlechtem Bremsen entstehen (z.B. [mm] a_1'=0.1a_1).
[/mm]
Ich das Koordinatensystem folgendermaßen angelegt:
Zum Zeitpunkt t=0 (wo die Ampel von Grün auf Gelb wechselt) befindet sich das Auto mit der Schnauze bei x=0.
Die Ampel steht also bei [mm] x=x_0
[/mm]
Die Kreuzung ist bei [mm] x=x_0+L [/mm] zu ende.
Der Anfang des Fahrzeuges (von dem ich immer ausgehe) muss also, damit das Auto nicht in der Kreuzung steht bei [mm] x=x_0+L+l [/mm] sein.
Ich habe dann berechnet, wo sich das Auto beim bremsen mit [mm] a_1 [/mm] nach t=3s ist (denn dort ist die Ampel ja rot).
Es steht dann bei x(t=3s)=23m.
Da das Fahrzeug beim Bremsen vor der roten Ampel anhalten soll, muss also gelten: [mm] x_0>=23m.
[/mm]
Beim beschleunigen gilt x(t=3s)=59m.
Damit das Fahrzeug außerhalb der Kreuzung ist, muss gelten:
[mm] x(t=3s)>=x_0+L+l=x_0+16m [/mm] >= [mm] x_0<=43m.
[/mm]
Zusammengefasst:
Bei guten Bremsen gilt:
Für [mm] x_0>=23m [/mm] sollte das Fahrzeug bremsen
Für [mm] x_0<=43m [/mm] kann es beschleunigen.
Zwischen 23m und 43m kann es sich das doch dann aussuchen, ob es bremst oder beschleunigt?! In beiden Fällen hält es entweder vorher an, oder kommt noch über die Kreuzung.
Nun die Frage: Welche Situation kann bei schlechtem Bremsen entstehen.
Ist klar, entscheidet sich der Fahrer bei [mm] x_0>=23m [/mm] zu bremsen, und bremst dann wie im Beispiel angegeben nur mit einem Zehntel, so landet das Auto wunderbar in der Kreuzung.
Um das ganze dann mal zu berechnen habe ich mal berechnet, wo sich das Fahrzeug nach 3s mit [mm] a_1' [/mm] befindet:
Es kam heraus:
[mm] x(t=3s)=-0.5*0.6m/s^2*9s^2+50/3 [/mm] m/s * 3 = 47.3m
Ist ja klar, dass der Bremsweg dann länger wird.
Nun habe ich wieder überlegt: Damit das Auto in der Kreuzung ist, muss gelten:
[mm] x(t=3s)>x_0 [/mm] und [mm] x(t=3s)<=x_0+L+l.
[/mm]
=> [mm] x_0<47.3m [/mm] und [mm] x_0>=47.3m-16m=31.3m
[/mm]
Sprich: Befindet sich das Auto im Bereich zwischen 31.3m vor der Ampel und 47.3m vor der Ampel, wo es ja laut guten Bremsen auf jeden Fall bremsen könnte, und er bremst schlecht, so bleibt er mitten in der Kreuzung stehen, obwohl er eg. vor der Ampel stehen bleiben sollte.
Nun habe ich eine Lösung für die Aufgabe, da es sich ja um eine Übung des Vorkurses Physik handelt, und dort steht als Lösung:
Bei schlechten Bremsen: für 43m <= [mm] x_0 [/mm] <= 231,5m befindet sich das Fahrzeug mit Sicherheit bei Rot in der Kreuzung.
Tut mir leid, aber diese Lösung kann ich beim besten Willen nicht verstehen.
Wenn ich doch mal so ca. 200m von der Kreuzung weg bin, und dann bremse, mit [mm] 0.1a_1, [/mm] dann stehe ich doch vor der Kreuzung.
Wäre lieb, wenn mir jemand sagen kann, ob man da noch anders denken muss/kann, und wie man dann auf die vorgegebene Lösung kommt, denn eine andere Lösung als meine Rechnung oben fällt mir momentan nicht ein.
LG
Kroni
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Hallo!
Da ich grade weniger Lust zum Rechnen aber mehr zum Spielen habe, habe ich das ganze mal mit Derive graphisch gelöst.
Man nehme die Gleichung für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen, und setze deine Werte ein.
Die gefährliche Strecke ist 16m lang, denn du mußt ja noch 4m weiter fahren, damit auch die hintere Stoßstange nicht mehr auf der Kreuzung steht.
AUf der x-Achse ist die Zeit, auf der y-Achse die Strecke. Gelb ist der Kreuzungsbereich in der Gelbphase, danach kommt natürlich rot.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt die Graphen:
ROT: Das ist die Beschleunigung. Du siehst, man kommt bei 46m so grade eben rüber. Näher ist natürlich besser.
BLAU: Bei 23m kann man so grade eben bremsen. Weiter weg ist natürlich besser
Magenta (oben): Das ist das schlechte Bremsen, wie du es berechnet hast
(unten): Und das ist bei 43m, wie das Buch sagt.
Der Unterschied liegt in der Interpretation der Aufgabe: Du fragst gleich nach dem neuen Bremsweg, während das Buch einfach von der gleichen Situation (und damit Strecke) wie vorher ausgeht, nur eben mit schlechtem Bremsen.
Und die über 200m sind auch korrekt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:22 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo!
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> Da ich grade weniger Lust zum Rechnen aber mehr zum Spielen
> habe, habe ich das ganze mal mit Derive graphisch gelöst.
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> Man nehme die Gleichung für gleichmäßig beschleunigte
> Bewegungen, und setze deine Werte ein.
>
> Die gefährliche Strecke ist 16m lang, denn du mußt ja noch
> 4m weiter fahren, damit auch die hintere Stoßstange nicht
> mehr auf der Kreuzung steht.
>
> AUf der x-Achse ist die Zeit, auf der y-Achse die Strecke.
> Gelb ist der Kreuzungsbereich in der Gelbphase, danach
> kommt natürlich rot.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Jetzt die Graphen:
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> ROT: Das ist die Beschleunigung. Du siehst, man kommt bei
> 46m so grade eben rüber. Näher ist natürlich besser.
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> BLAU: Bei 23m kann man so grade eben bremsen. Weiter weg
> ist natürlich besser
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> Magenta (oben): Das ist das schlechte Bremsen, wie du es
> berechnet hast
> (unten): Und das ist bei 43m, wie das Buch sagt.
>
> Der Unterschied liegt in der Interpretation der Aufgabe: Du
> fragst gleich nach dem neuen Bremsweg, während das Buch
> einfach von der gleichen Situation (und damit Strecke) wie
> vorher ausgeht, nur eben mit schlechtem Bremsen.
Von welcher Strecke geht man denn aus? Das ist mir immer noch nicht klar geworden, da ich ja vorher nur Entscheidungsregeln berechnet habe, die sich ja auch mit deinem Graphen decken.
>
> Und die über 200m sind auch korrekt:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich mir die magentafarbene nach unten geöffnete "Brems"Parabel ansehe, die durch den Punkt P(0;-231,5) geht (der sollte es denke ich sein), so sehe ich, dass das Fahrzeug bei x=0 die Geschwindigkeit v=0 hat.
Sprich: Die Autoren der Aufgabe müssen folgendes gedacht/gerechnet haben:
Bei t=0 beginnt der Bremsvorgang.
Deine benutzte Formel lautet dann:
[mm] x(t)=-0.5at^2+v_0*t-x_0 [/mm] mit [mm] x_0: [/mm] Abstand Auto zur Ampel.
Nun hat man sich also angesehen, wann das Auto zum Stillstand kommt, indem man sich v(t) anguckt: [mm] v(t)=-a*t+v_0
[/mm]
Das ergäbe dann: [mm] v(t)=-0.6m/s^2*t+50/3 [/mm] m/s
Das gleich Null gesetzt ergibt: t=250/9 s [mm] \approx [/mm] 27.78 s
Jetzt setzt man diese Zeit in x(t) ein, und schaut dann, bei welchem [mm] x_0 [/mm] x(t=250/9s) im Kreuzungsbereich liegt:
[mm] x(250/9s)=6250/27m-x_0 [/mm]
Und das Fahrzeug liegt für x(t)>0 im Kreuzungsbereich:
[mm] x_0<231.48m
[/mm]
Welches sich wieder mit dem Ergebnis von oben deckt.
Die Nächste Überlegung, die ich gehabt hätte, wäre: Das Fahrzeug muss innerhalb der Kreuzung liegen => x(t)<16m => [mm] x_0>215.48m
[/mm]
Diese Zahl taucht nur nirgends auf.
EDIT: Das liegt auch wohl daran, weil alles oberhalb t=3s verboten ist.
Sprich: Für alle t>3s darf sich das Fahrzeug NICHT innerhalb der Kreuzung befinden.
Sprich: bei t=27.7s muss das Fahrzeug zwangsläufig vor der Ampel stehen bleiben, weil die Ampel rot anzeigt.
Jetzt fehlt mir nur noch die Überlegung, wie man auf 43m kommen sollte.
Da fällt mir bisher immer nur noch diese Überlegung ein:
bei t=3s muss das Auto, wenn es bremst, auf jeden Fall vor x(t=3s)<0 stehen bleiben.
=> [mm] x(t=3s)=47,3m-x_0 [/mm]
x(t=3s)>0 => [mm] 47,3m-x_0>0 [/mm] <=> [mm] x_0<47,3m
[/mm]
Was sich aber nicht mit der Lösung deckt...
EDIT 2: Noch eine Überlegung: Ich habe ja schon brechnet, dass sich das Fahrzeg bei [mm] x_0>31.3m [/mm] bei der schlechten Bremsung im Kreuzungsbereich landet.
Eben habe ich auch noch berechnet: für [mm] x_0<231.5m
[/mm]
Nun, die Antwort war ja, dass es sich für [mm] x_0>46m [/mm] ganz sicher in der Kreuzung steht.
Das liegt wohl daran, weil man ja bei [mm] 31.3m<=x_0<=46m [/mm] noch Beschleunigen kann, um über die Ampel zu kommen.
Deshalb wählt man dann hier die 46m als Grenze, so dass die Antwort: zwischen 46m und 231.5m steht das Auto Sicher in der Kreuzung, passt!
Ich hoffe, dass man das so begründen kann.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
ich bitte hier nur um Kontrolle des Gedankengangens...da ich bei der ersten Antwort einen fundamentalen Fehler begangen habe:
Beim Bremsen soll das Auto auch stehen, sprich: es soll innerhalb von 3s auf v=0 m/s abgebremst werden, daran habe ich in meiner ersten Lösung nicht gedacht (ich trottel).
Nun gut.
Erste Möglichkeit: Bremsen mit [mm] a_1=-6m/s^2
[/mm]
Es gilt: [mm] v(t)=-6m/s^2*t+50/3 [/mm] m/s
v(t)=0 <=> t=25/9 s (dann steht das Fahrzeug, d.h. die Bremszeit ist sogar noch schneller als die Zeit zwischen Gelb und Rot.
Nun gut, das habe ich dann in [mm] x(t)=-3m/s^2*t^2+50/3 [/mm] m/s*t [mm] -x_0 [/mm] eingesetzt (Koordinatensystem ist wie folgt definiert: [mm] -x_0: [/mm] Start des Autos, x=0: Postion der Ampel, x=L: Ende dere Kreuzung, x=L+l: Ende des Autos=> Die Position muss es erreichen, um nicht mehr in der Kreuzung zu sein).
Das eingeetzt ergibt einen Wert für x, der von [mm] x_0 [/mm] abhängt. Damit das Auto dann vor der Kreuzung stehen bleibt muss gelten: [mm] x(t=t_{Stillstand})<=0 [/mm] und dann kommt raus:
[mm] x_0>=23.15m [/mm]
Beim beschleunigen hatte ich richtig gerechnet, für alles kleiner gleich 43m kann der Autofahrer beschleunigen, um nicht in der Kreuzung zu sein, wenn die Ampel auf rot springt.
Man sieht: Die [mm] x_0-Werte [/mm] überschneiden sich: Der Fahrer kann zwischen 43 und 23.15m entscheiden, ob er bremst oder bechleunigt.
Nun zur zweiten Aufgabe, die mir Sorgen bereitete:
Wieder die selbe Rechnung beim Bremsen wie oben,nur diesmal mit [mm] a=0.1a_1
[/mm]
Die Zeit berechnet, wo v(t)=0 gilt, das in x(t) eingeetzt ud gefordrt: x(t)<=0.
Es kommen die 231.48 m heraus.
Sprich: Ist [mm] x_0 [/mm] kleiner als 231.5m, so befindet sich das Fahrzeug innerhalb der Kreuzung:
Es steht erst bei t=250/9s=27.78s, d.h. das Fahrzeug darf in dieser Zeit maximal so viel Strecke zurücklegen, dass es dann bei t=27.78s bei x=0m steht.
Das tut es aber nicht, wenn man näher als 231.5 m an der Kreuzung dran ist.
Nun kommt die Einschränkung: Ist man näher oder gleich 43m an der Kreuzung, so hat man die Option zu beschleunigen.
Bremst man hier auch wieder, so hat man verloren, beschleunigt man und bremst nicht, so hat man gewonnen und kommt über die Kreuzung.
Soweit alles okay?
Wie gesagt, es kommt mir nicht auf die Zahlen an, sondern auf den Gedankengang.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Sa 09.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich kann keinen Fehler in deinen Überlegungen finden. Zahlen nicht nachgerechnet.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi leduart,
danke für deine Kontrolle.
LG
Kroni
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