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| Aufgabe | | Es sei <S,+> eine kommutative Halbgruppe mit Kürzung. Zeigen Sie, dass auf der Menge P:=SxS durch (a,b)~(c,d) [mm] :\gdw [/mm] a+d = b+c eine Äquivalenzrelation ~ gegeben ist. |
Hallo!
Ich würde gern wissen, ob meine Lösungen korrekt sind. Irgendwie sind diese Aufgaben nämlich zu einfach, da gibt es sicher einen Trick.
1. Äquivalenzrelation zeigen [mm] \gdw [/mm] reflexiv, symmetrisch, transitiv.
Die Elemente von S sind Paare.
Reflexiv.
Sei (a,b) [mm] \in [/mm] S. Dann gilt trivialerweise zusammen mit der gegebenen Kommutativität:
a + b = b + a [mm] \gdw [/mm] : (a,b)~(a,b)
D.h. die Äquivalenzrelation ist reflexiv wegen ((a,b),(a,b)) [mm] \in [/mm] ~.
Symmetrisch.
Seien (a,b), (c,d) [mm] \in [/mm] S und es gelte
(a,b)~(c,d) [mm] :\gdw [/mm] a + d = b + c
Vertauscht man die Seiten der Gleichung und wendet erneut die Kommutativität an, ergibt sich wieder
(a,b)~(c,d) [mm] :\gdw [/mm] a + d = b + c [mm] \gdw [/mm] b + c = a + d [mm] \gdw [/mm] c + b = d + a [mm] \gdw [/mm] : (c,d)~(a,b)
Also ist die Äquivalenzrelation symmetrisch, weil gilt: (a,b)~(c,d) [mm] \gdw [/mm] (c,d)~(a,b).
Transitivität.
Seien (a,b), (c,d), (e,f) [mm] \in [/mm] S. Es gelte
(a,b)~(c,d) [mm] :\gdw [/mm] a + d = b + c
(c,d)~(e,f) [mm] :\gdw [/mm] c + f = d + e
Nun ist einerseits mit dem Assoziativgesetz
(a + d) = (b + c) [mm] \gdw [/mm] (a + d) + f = (b + c) + f [mm] \gdw [/mm] (a + d) + f = b + (c + f) (I)
und andererseits mit dem Kommutativgesetz (und Vertauschen der Gleichungsseiten)
(c + f) = (d + e) [mm] \gdw [/mm] (c + f) + b = (d + e) + b [mm] \gdw [/mm] b + (c + f) = (d + e) + b (II)
Das heißt man erhält mit (I) und (II):
a + (d + f) = (d + e) + b
(Kommutativität / Assoziativität)
[mm] \gdw [/mm] (d+a) + f = (d+e) + b
(Assoziativität)
[mm] \gdw [/mm] d + (a+ f) = d+(e + b)
(Kürzbarkeit)
[mm] \Rightarrow [/mm] a+ f = e + b [mm] \gdw [/mm] a + f = b + e [mm] \gdw [/mm] : (a,b)~(e,f)
Also ist ~ transitiv.
Also ist ~ Äquivalenzrelation.
Danke für Eure Hilfe!
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Di 04.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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