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Bew.: Folgen: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 Do 08.05.2008
Autor: Morgenroth

Aufgabe
z.z. oder widerlegen:
a) [mm] (a_{n}) [/mm] monoton wachsend (fallend) --> [mm] (-a_{n}) [/mm] monoton fallend (wachend)
b) [mm] (a_{n}) [/mm] monoton wachsend --> [mm] (|a_{n}|) [/mm] monoton wachsend
c) [mm] (a_{n}) [/mm] > 0 und [mm] a_{n} [/mm] n. o. beschränkt --> [mm] ((1/a_{n}) [/mm] n. u. u. n. o. beschränkt

a) [mm] (a_{n}) [/mm] monoton wachsend --> [mm] (a_{n+1}) \ge (a_{n}) [/mm] | *(-1)
[mm] (-a_{n+1}) \le (-a_{n}) [/mm] (Ungleichheitszeichen dreht sich um) -->
[mm] (-a_{n}) [/mm] monoton fallend
(analoge Betrachtung, wenn [mm] (a_{n}) [/mm] monoton fallend

b) [mm] (a_{n}) [/mm] monoton wachend --> [mm] (a_{n+1}) \ge (a_{n}) [/mm] --> [mm] \bruch{a_{n+1})}{a_{n})} \ge [/mm] 0
Und nun? Um Zähler und Nenner den Betrag rum, dann ist es immer noch [mm] \ge [/mm] 0, aber ich hab das Gefühl, dass es da ein Gegenbesipeil gibt, oder?

c) [mm] (a_{n}) [/mm] > 0 --> [mm] (1/a_{n}) [/mm] < 0 (Ungleichheitszeichen dreht sich um)
Und nun?

        
Bezug
Bew.: Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Do 08.05.2008
Autor: leduart

Hallo
zu [mm] b)a_n=-1/2^n [/mm] ist monoton wachsend.
zu c) falsch! 2>0 1/2>0
du schliesst aus a<b  1/a>1/b  das gilt nur, wenn a,b>0  
du musst also a>0 folgt a>r>0 [mm] a_n [/mm] nach oben beschränkt heisst [mm] a_n0>r [/mm] ist ja nach unten beschränkt.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Bew.: Folgen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Mi 14.05.2008
Autor: Morgenroth

Hallo nochmal!
Danke!

Also b) ist klar.
Fallunterscheidung:
Als Gegenbsp. hab ich noch (-1/n).
Aber für alle an positiv für alle n ist die Beh. ok, da die Betragsstriche keine Veränderung bedeuten.

c) versteh ich leider nicht trotz deiner Hilfe.
War denn mein Ansatz falsch oder ist die Beh. an sich falsch?
Wär schön, wenn mir da nochmal jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Bezug
                        
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Bew.: Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:00 Mi 14.05.2008
Autor: Merle23


> c) versteh ich leider nicht trotz deiner Hilfe.
>  War denn mein Ansatz falsch oder ist die Beh. an sich
> falsch?

Die Behauptung ist falsch.

Bezug
                                
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Bew.: Folgen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:35 Mi 14.05.2008
Autor: Morgenroth

Ah, danke, ok.

Aber warum ist die falsch?
Meine Bsp. klappen bis jetzt oder hab' ich da was übersehen?
Gibt's denn da ein Gegenbeispiel?

Bezug
                                        
Bezug
Bew.: Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:43 Mi 14.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Morgenroth,

Was ist mit ner einfachen Folge, sagen wir [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm]

Da ist [mm] $a_n>0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und nach oben beschränkt ist die Folge auch (durch 1)

Was ist dann mit [mm] $\left(\frac{1}{a_n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] ?


Gruß

schachuzipus

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