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| Aufgabe | Die Bevölkerung eines Staates nahm in 5 Jahren um 2 Millionen Einwohner zu. Die jährliche Zunahme betrug 0,5%.
Bestimme die Bevölkerungszahl nach Ablauf dieser 5 Jahre.
Nach wie vielen Jahren wird sich die Bevölkerungszahl verdoppelt haben? |
Hallo,
ich weiß auch nicht warum, aber irgendie habe ich hier ein Problem bei dieser Aufgabe.
Ich weiß, dass wir so etwas schon mal vor einiger Zeit gemacht haben, aber ich habe einem Bekannten meine alten Unterlagen ausgeliehen und bekomme die erst am Wochenende wieder, sodass ich jetzt nicht nachgucken kann.
Also ich hatte mal super simpel angefangen, aber das kann nicht richtig sein. Ich schreibe es trotzdem mal und freue mich auf Hilfe!
Zunahme in 5 Jahren um 5 Mio. --> Zunahme in 1 Jahr um 400000. (Das kann meiner meinung schon nicht sein, weil es ja exponentialwachstum ist)
Jährliche Zunahme betrug 0,5%.
100% Zunahme würde Gleichzeitig den jetzigen Zeitpunkt beschreiben. Also 400000 * 200 = 80 Mio.
Verdopplung der Bevölkerung: 5 Jahre 2 Mio, 40 Jahre 80 Mio.
Aber das ist alles absoluter Schwachsinn, weil es ja eben exponentiales Wachstum ist. Aber ich komm einfach nicht drauf, wie es richtig geht.
LG TryingHard
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Für die Bevölkerungszahl [mm] B_n [/mm] nach n Jahren gilt bei exponentiellem Wachstum die Gleichung
[mm] B_n [/mm] = [mm] B_0 [/mm] * [mm] a^n
[/mm]
Weil die jährliche Zunahme 0,5% beträgt, ist a = 1,005.
Außerdem weißt du, dass gilt: [mm] B_5-B_0 [/mm] = 2000000.
Also:
[mm] B_5 [/mm] = [mm] B_0 [/mm] * [mm] 1,005^5 [/mm] = [mm] B_0 [/mm] + 2000000
[mm] \Rightarrow B_0 [/mm] = [mm] \bruch{2000000}{1,005^5-1} [/mm] = ...
(Ich habe keinen Taschenrechner zur Hand)
Wann hat sich die Bevölkerungszahl verdoppelt?
[mm] B_n [/mm] = [mm] 2*B_0 [/mm] = [mm] B_0 [/mm] * [mm] 1,005^n
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 = [mm] 1,005^n
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] n = [mm] \bruch{log 2}{log 1,005} [/mm] = ...
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HI,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Es dämmert mir nun einiges. Trotzdem habe ich noch ein paar Fragen dazu.
> Für die Bevölkerungszahl [mm]B_n[/mm] nach n Jahren gilt bei
> exponentiellem Wachstum die Gleichung
> [mm]B_n[/mm] = [mm]B_0[/mm] * [mm]a^n[/mm]
>
> Weil die jährliche Zunahme 0,5% beträgt, ist a = 1,005.
> Außerdem weißt du, dass gilt: [mm]B_5-B_0[/mm] = 2000000.
>
> Also:
> [mm]B_5[/mm] = [mm]B_0[/mm] * [mm]1,005^5[/mm] = [mm]B_0[/mm] + 2000000
> [mm]\Rightarrow B_0[/mm] = [mm]\bruch{2000000}{1,005^5-1}[/mm] = 79,20
> (Ich habe keinen Taschenrechner zur Hand)
Her ist mir alles klar, bis auf das -1 im Nenner. Der Rest der Gleichung ist mir klar. Die ist ja aus einer Umformung der allg.Gleichung entstanden.
> Wann hat sich die Bevölkerungszahl verdoppelt?
> [mm]B_n[/mm] = [mm]2*B_0[/mm] = [mm]B_0[/mm] * [mm]1,005^n[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2 = [mm]1,005^n[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] n = [mm]\bruch{log 2}{log 1,005}[/mm] = 138,98
Hier blicke ich irgendwie nicht mehr wirklich durch. Also [mm]B_n[/mm] = [mm]2*B_0[/mm] ist klar. Aber ab dann nicht mehr so ganz. Es wäre sehr nett, wenn du mir das nochmal kurz erklären könntest.
Vielen Dank nochmal.
LG TryingHard
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>> Für die Bevölkerungszahl [mm]B_n[/mm] nach n Jahren gilt bei
>> exponentiellem Wachstum die Gleichung
>> [mm]B_n[/mm] = [mm]B_0[/mm] * [mm]a^n[/mm]
>>
>> Weil die jährliche Zunahme 0,5% beträgt, ist a = 1,005.
>> Außerdem weißt du, dass gilt: [mm]B_5-B_0[/mm] = 2000000.
>>
>> Also:
>> [mm]B_5[/mm] = [mm]B_0[/mm] * [mm]1,005^5[/mm] = [mm]B_0[/mm] + 2000000
>> [mm]\Rightarrow B_0[/mm] = [mm]\bruch{2000000}{1,005^5-1}[/mm] = 79,20
>> (Ich habe keinen Taschenrechner zur Hand)
>Her ist mir alles klar, bis auf das -1 im Nenner. Der Rest der Gleichung >ist mir klar. Die ist ja aus einer Umformung der allg.Gleichung entstanden. >
Also [mm]B_0[/mm] * [mm]1,005^5[/mm] = [mm]B_0[/mm] + 2000000
dann ist [mm]B_0[/mm] * [mm]1,005^5[/mm] - [mm]B_0[/mm] = 2000000
ausklammern: [mm]B_0[/mm] * ([mm]1,005^5[/mm] - 1) = 2000000
durchdividieren: [mm]B_0[/mm] = [mm] \bruch {2000000}{(1,005^5-1) }
[/mm]
>> Wann hat sich die Bevölkerungszahl verdoppelt?
>> [mm]B_n[/mm] = [mm]2*B_0[/mm] = [mm]B_0[/mm] * [mm]1,005^n[/mm]
>> [mm]\Rightarrow[/mm] 2 = [mm]1,005^n[/mm]
>> [mm]\Rightarrow[/mm] n = [mm]\bruch{log 2}{log 1,005}[/mm] = 138,98
>[red] Hier blicke ich irgendwie nicht mehr wirklich durch. Also
>[mm]B_n[/mm] = [mm]2*B_0[/mm] ist klar. Aber ab dann nicht mehr so
>ganz. Es wäre sehr nett, wenn du mir das nochmal kurz erklären
>könntest.
Es gilt stets:
[mm]B_n[/mm] = [mm]B_0[/mm] * [mm]1,005^n[/mm]
Wenn jetzt [mm]B_n[/mm] doppelt so groß sein soll wie [mm]B_0[/mm] dann gilt zusätzlich:
[mm]B_n[/mm] = 2*[mm]B_0[/mm]
Also gilt zusammengesetzt:
2*[mm]B_0[/mm] = [mm]B_0[/mm] * [mm]1,005^n[/mm]
Jetzt umformen bis du zu diesem Bruch kommst:
2 = [mm]1,005^n[/mm]
Logarithmieren auf beiden Seiten:
[mm]log 2[/mm] = [mm]log(1,005^n[/mm]
Potenz aus Logarithmus ziehen:
[mm]log 2[/mm] = n*[mm]log(1,005[/mm]
Durchdividieren, Fertig!
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