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Hallo,
ich habe eine Frage zur Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung:
[mm]y'*(1+x^{2})=x*y[/mm]
[mm]\integral \bruch{1}{y}dy=\integral \bruch{x}{1+x^{2}}dx[/mm]
[mm]ln|y| = \bruch{1}{2}*ln(1+x^{2})+ln|C|[/mm] ; C [mm] \in \IR
[/mm]
[mm]\bruch{|y|}{|C|} = \wurzel{1+x^{2}}[/mm]
Jetzt steht in meinem Buch, die Lösung sei:
[mm]y = C* \wurzel{1+x^{2}}[/mm]
Die Betragsstriche werden einfach weggelassen; das ist ja eine andere Lösungsmenge als
[mm]|y| = |C|* \wurzel{1+x^{2}}[/mm]
Oder irre ich?
Vielen Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
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Hiho,
das folgt aus der Eindeutigkeit der Lösung, d.h. wenn du eine Lösung gefunden hast, dann hat jede andere Lösung ebenfalls diese Form.
Und da [mm]y = C\sqrt{1+x^2}[/mm] die DGL erfüllt, ist dies somit die Lösung.
MfG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Martinius |
Vielen Dank für die Antwort.
LG, Martinius
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Hallo,
'tschuldigung, wenn ich noch mal frage; ich bin mir nicht sicher, ob ich als Nichtmathematiker die vorherige Antwort ganz verstanden hande.
Bei der DGL [mm]x*(x+1)*y'=y[/mm]
[mm]\integral\bruch{1}{y}\, dy = \integral\bruch{1}{x^{2}+x}\, dx [/mm]
[mm]ln|y| = ln\left|\bruch{x}{x+1}\right| + ln|C| [/mm]
erhält man ja zuerst das Ergebnis
[mm]|y| = |C|*\left|\bruch{x}{x+1}\right| [/mm] ; C [mm] \in \IR
[/mm]
Durch Einsetzen in die DGL findet man, dass auch
[mm]y = C*\bruch{x}{x+1}[/mm]
eine Lösung ist.
Der Verlauf des Graphen der Betragsfunktion ist ja nun ein anderer, als derjenige der Funktion ohne Beträge; der Graph hat einen Knick bei x = 0. Die Betragsfunktion geht auch nicht durch Multiplikation mit einer Konstanten C aus der Lösung ohne Betragsstriche hervor.
Müsste man da nicht beide Funktionen als Lösung angeben?
Oder "umfasst" die Lösung ohne Betragsstriche die Betragsfunktion in irgendeinem Sinne?
In meinem Buch steht nur [mm]y = C*\bruch{x}{x+1}[/mm] als Lösung.
Vielen Dank im voraus.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Dgl. setzt ja vorraus, dass y differenzierbar ist.
der Weg, auf dem du die Lösg gefunden hast gilt z.Teil nur für pos. Werte.
aber das ist ja eigentlich nur ne Zwischenrechnung.
du kannst ja auch schon vor dem Integrieren beide Seiten mit -1 multipl.
dann hast du uch die Lösg für neg. y.
Am Ende immer einfach nachprüfen ob die Lösung uneingeschränkt die Dgl erfüllt UND diffb. ist.
ausserdem hast du ja auch links bei y den Betrag stehn! wie sieht dann die fkt aus?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo leduart,
D. h., wenn links und rechts Betragsstriche stehen, kann man sie einfach weglassen (?).
Nachprüfen der Lösung auf Differenzierbarkeit und nachschauen, ob sie die DGL erfüllt hab ich bisher immer gemacht.
LG, Martinius
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