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| Aufgabe | | [mm] \left| x^2-x \right| = 0,1 [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe diese Aufgabe zunächst rein rechnerisch gelöst, ohne Beträge, mit Hilfe der Mitternachtsformel.
Lösung: x1 = -0.0916; x2 = 1.0316
Wenn ich mir nun beide Funktionen: [mm] f(x) = \left| x^2-x \right| [/mm] und [mm] f(x) = 0,1 [/mm] skizziere, sehe ich das es eben 4 Lösungen gibt.
1.) Wie kann ich ohne Skizze bestimmen, wieviele Lösungen es gibt?
2.) Wie berechne ich diese Lösungen. In der o.g. Aufgabe 4 Lösungen.
Gruß, Ralf.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Ralf und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]\left| x^2-x \right| = 0,1[/mm]
> Hallo zusammen,
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> ich habe diese Aufgabe zunächst rein rechnerisch gelöst,
> ohne Beträge, mit Hilfe der Mitternachtsformel.
>
> Lösung: x1 = -0.0916; x2 = 1.0316
Das habe ich jetzt nicht nachgerechnet ...
Wenn wir das kontrollieren sollen, poste deine Rechnung
>
> Wenn ich mir nun beide Funktionen: [mm]f(x) = \left| x^2-x \right|[/mm]
> und [mm]f(x) = 0,1[/mm] skizziere, sehe ich das es eben 4 Lösungen
> gibt.
>
> 1.) Wie kann ich ohne Skizze bestimmen, wieviele Lösungen
> es gibt?
> 2.) Wie berechne ich diese Lösungen. In der o.g. Aufgabe 4
> Lösungen.
Nun, schreibe die Funktion [mm] $|x^2-x|$ [/mm] mal betragsfrei und untersuche die entsprechenden Fälle.
Bedenke, dass du dazu die Funktion schreiben kannst als [mm] $|x\cdot{}(x-1)|=|x|\cdot{}|x-1|$
[/mm]
Nun verwende die Definition des Betrages [mm] $|z|=\begin{cases} z, & \mbox{für } z\ge 0 \\ -z, & \mbox{für } z<0 \end{cases}$ [/mm] und schreibe die Funktion ohne Betragstriche.
Schaue, wann $x$ und $x-1$ beide [mm] $\ge [/mm] 0$ sind, wann sie beide $<0$ sind und was dazwischen passiert ...
> Gruß, Ralf.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | | [mm] \left| x^2-x \right| = 0,1[/mm] |
Vielen Dank für den Hinweis.
Ich hab nun folgende Rechnung durchgeführt:
1. Fall [mm] \left|x^2-x\right| \ge 0 [/mm]
[mm] x^2-x \ge 0 [/mm]
[mm] x-1 \ge 0 [/mm]
[mm] x \ge 1 [/mm]
d.h. für [mm] x \ge 1 [/mm] ist [mm] \left|x^2-x\right| = x^2-x [/mm] [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x^2-x = 0,1 [/mm]
[mm] x^2-x-0,1 = 0 [/mm]
[mm] x1,2 = 0,5 \pm\wurzel{0,35}[/mm] (Mitternachtsformel)
[mm] x1 = 1,0916[/mm]
[mm] x2 = -0,0916[/mm]
2. Fall [mm] \left|x^2-x\right| < 0 [/mm]
[mm] x^2-x < 0 [/mm]
[mm] x-1 < 0 [/mm]
[mm] x < 1 [/mm]
d.h. für [mm] x < 1 [/mm] ist [mm] \left|x^2-x\right| = -(x^2-x) = -x^2+x [/mm] [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] -x^2+x = 0,1 [/mm]
[mm] -x^2+x-0,1 = 0 [/mm]
[mm] x^2-x+0,1 = 0 [/mm]
[mm] x3,4 = 0,5 \pm\wurzel{0,15}[/mm] (Mitternachtsformel)
[mm] x3 = 0,8873[/mm]
[mm] x4 = 0,1127[/mm]
Wenn ich mir nun beide Fälle anschaue, dann ist es doch so, dass im Fall 1 die Lösung x2 ungültig ist, da in diesem Fall die Lösung nur richtig ist für [mm] x\ge1[/mm] oder? Folglich habe ich bis jetzt nur 3 Lösungen, es gibt aber 4.
Wo ist mein Denkfehler?
Gruß, Ralf.
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Hallo!
> [mm]\left| x^2-x \right| = 0,1[/mm]
> Ich hab nun folgende Rechnung durchgeführt:
> 1. Fall [mm]\left|x^2-x\right| \ge 0[/mm]
Das ist etwas seltsam aufgeschrieben, eigentlich:
1. Fall: [mm] $x^2-x \ge [/mm] 0$ (ohne Betragsstriche, weil der Betrag ist ja ohnehin immer größer 0, nur der Inhalt eben nicht).
> [mm]x^2-x \ge 0[/mm]
> [mm]x-1 \ge 0[/mm]
Achtung! Du rechnest hier mit Ungleichungen! Da darfst du nicht einfach durch x teilen! (Abgesehen davon, dass x = 0 ja auch eine Lösung sein könnte, ist es hier aber nicht).
Denn x kann ja auch kleiner 0 sein, und wenn du eine Ungleichung mit einer Zahl < 0 dividierst oder multiplizierst, dreht sich das Relationszeichen um!
Bsp.:
1 < 2 | *(-1)
-1 > -2
Du kannst jedoch folgendermaßen vorgehen:
[mm] $x^2-x \ge [/mm] 0$
$x*(x-1) [mm] \ge [/mm] 0$
Entweder beide Faktoren sind positiv, oder beide Faktoren sind negativ, ansonsten stimmt die Ungleichung nicht.
--> D.h. für x > 1 ist die Ungleichung erfüllt.
--> D.h. für x [mm] \le [/mm] 0 ist die Ungleichung erfüllt.
Das heißt nun im Klartext: Dein erster Fall behandelt nicht nur den Bereich x > 1, sondern auch x [mm] \le [/mm] 0. Deine im Folgenden erhaltene zweite Lösung x2 = -0,0916 ist auch Teil dieses Bereichs, also auch Lösung der Aufgabe.
> d.h. für [mm]x \ge 1[/mm] ist [mm]\left|x^2-x\right| = x^2-x[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]x^2-x = 0,1[/mm]
> [mm]x^2-x-0,1 = 0[/mm]
> [mm]x1,2 = 0,5 \pm\wurzel{0,35}[/mm]
> (Mitternachtsformel)
> [mm]x1 = 1,0916[/mm]
> [mm]x2 = -0,0916[/mm]
Überprüfe nun deinen zweiten Fall.
Grüße,
Stefan
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wozu so viel Mühe ?
es geht doch ohne all diese Fallunterscheidungen
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
ich habe nur die Frage beantwortet, und die lautete, was beim vorgegebenen Vorgehen falsch gemacht wurde 
Grüße,
Stefan
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> ich habe nur die Frage beantwortet, und die lautete, was
> beim vorgegebenen Vorgehen falsch gemacht wurde
>
> Grüße,
> Stefan
OK, aber hie und da ist es keine gute Idee,
einen Holzweg zu verbessern, indem man
besseres Holz nimmt .... 
Gruß und schönen Abend !
Al
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> [mm]\left| x^2-x \right| = 0,1[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe diese Aufgabe zunächst rein rechnerisch gelöst,
> ohne Beträge, mit Hilfe der Mitternachtsformel.
>
> Lösung: x1 = -0.0916; x2 = 1.0316
>
> Wenn ich mir nun beide Funktionen: [mm]f(x) = \left| x^2-x \right|[/mm]
> und [mm]f(x) = 0,1[/mm] skizziere, sehe ich das es eben 4 Lösungen
> gibt.
>
> 1.) Wie kann ich ohne Skizze bestimmen, wieviele Lösungen
> es gibt?
> 2.) Wie berechne ich diese Lösungen. In der o.g. Aufgabe 4
> Lösungen.
>
> Gruß, Ralf.
Hallo Ralf,
löse einfach die beiden Gleichungen
[mm] x^2-x [/mm] = 0,1
und
[mm] x^2-x [/mm] = -0,1
LG Al-Chw.
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