Betrag von e^{irgendwas} < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Do 04.06.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo. Kann mir jemand sagen, ob folgender Satz stimmt:
Der Betrag von [mm] e^{irgendwas} [/mm] ist immer 1.
Gilt das immer oder nur für komplexe Zahlen?
Wenn ich jetzt folgendes Integral habe:
[mm] \integral_{2}^{3}{|4\pi i e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}
[/mm]
kann ich da einfach sagen, dass [mm] e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}} [/mm] = 1 ist und berechne dann nur noch das Integral von [mm] \integral_{2}^{3}{|4\pi i|}? [/mm] Warum ist das so??
Noch eine andere Frage. Wenn ich folgendes Integral habe:
[mm] \integral_{1}^{2}{|-1-i|dt} [/mm] bilde ich die Stammfunktion |-t-it| und setzte dann die Grenzen 1 und 2 ein. Kann ich da schon die Betragstriche weglassen, d.h. ich schreibe +t+it, oder muss ich erst die Grenzen einsetzten und dann kann ich die Betragstriche weglassen? Oder ist das egal?
Danke schonmal.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo. Kann mir jemand sagen, ob folgender Satz stimmt:
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> Der Betrag von [mm]e^{irgendwas}[/mm] ist immer 1.
Der stimmt nicht !
Es ist, für t [mm] \in \IR: $|e^{it}| [/mm] = |cost+i sint|= [mm] \wurzel{cos^2t+sin^2t} [/mm] = 1$
und für z = x+iy:
[mm] $|e^z| [/mm] = [mm] |e^x|*|e^{iy}|= e^x$
[/mm]
>
> Gilt das immer oder nur für komplexe Zahlen?
>
> Wenn ich jetzt folgendes Integral habe:
> [mm]\integral_{2}^{3}{|4\pi i e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}[/mm]
>
>
> kann ich da einfach sagen, dass [mm]e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}[/mm]
> = 1 ist und berechne dann nur noch das Integral von
> [mm]\integral_{2}^{3}{|4\pi i|}?[/mm] Warum ist das so??
>
>
>
> Noch eine andere Frage. Wenn ich folgendes Integral habe:
>
> [mm]\integral_{1}^{2}{|-1-i|dt}[/mm] bilde ich die Stammfunktion
> |-t-it| und setzte dann die Grenzen 1 und 2 ein. Kann ich
> da schon die Betragstriche weglassen, d.h. ich schreibe
> +t+it, oder muss ich erst die Grenzen einsetzten und dann
> kann ich die Betragstriche weglassen? Oder ist das egal?
Mein Gott ! ist c eine Konstante, so ist doch [mm] \integral_{a}^{b}{c dt}= [/mm] (b-a)c
FRED
>
> Danke schonmal.
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Do 04.06.2009 | | Autor: | tynia |
Danke . Ich dachte mir das schon mit den Betragstrichen, aber wollte nochmal auf Nummer sicher gehen. Tut mir leid, wenn dich diese Frage unterfordert hat. Das wolltest du doch mit "Mein Gott" ausdrücken,oder?
Trotzdem danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke . Ich dachte mir das schon mit den Betragstrichen,
> aber wollte nochmal auf Nummer sicher gehen. Tut mir leid,
> wenn dich diese Frage unterfordert hat. Das wolltest du
> doch mit "Mein Gott" ausdrücken,oder?
Nein, aber merke Dir: Integral über eine Konstante = Konstante x Intervalllänge
FRED
> Trotzdem danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Do 04.06.2009 | | Autor: | tynia |
Merke ich mir 
Kannst du mir nochmal sagen, ob ich das jetzt richtig verstanden habe.
Ich betrachte nochmal das Integral
[mm] \integral_{2}^{3}{|4\pi i e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}.
[/mm]
[mm] |e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}| [/mm] kann ich umformen in [mm] |e^{i(4\pi (t-2-\bruch{\pi}{2})}|. [/mm]
[mm] |e^{it}|=|cost+isint|=\wurzel{cos^{2}t+sin^{2}t}=1 [/mm]
Wenn ich das jetzt auf mein Beispiel übertrage, erhalte ich:
[mm] |cos(4\pi (t-2-\bruch{\pi}{2})+isin(4\pi (t-2-\bruch{\pi}{2})=
[/mm]
[mm] \wurzel{cos^{2}(4\pi (t-2-\bruch{\pi}{2})+sin^{2}(4\pi (t-2-\bruch{\pi}{2})}=1
[/mm]
Daraus ergibt sich für mein Integral:
[mm] \integral_{2}^{3}{|4\pi i|dt} [/mm] die Stammfunktion [mm] 4it\pi. [/mm] Wenn ich jetzt die Integralgrenzen einsetze, erhalte ich:
[mm] [12i\pi]-[8i\pi]=4i\pi
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Do 04.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo tynia,
> Merke ich mir
>
> Kannst du mir nochmal sagen, ob ich das jetzt richtig
> verstanden habe.
>
> Ich betrachte nochmal das Integral
>
> [mm]\integral_{2}^{3}{|4\pi i e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}.[/mm]
>
> [mm]|e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|[/mm] kann ich umformen in
> [mm]|e^{i(4\pi (t-2-\bruch{\pi}{2})}|.[/mm]
>
> [mm]|e^{it}|=|cost+isint|=\wurzel{cos^{2}t+sin^{2}t}=1[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt auf mein Beispiel übertrage, erhalte
> ich:
>
> [mm]|cos(4\pi (t-2-\bruch{\pi}{2})+isin(4\pi (t-2-\bruch{\pi}{2})=[/mm]
>
> [mm]\wurzel{cos^{2}(4\pi (t-2-\bruch{\pi}{2})+sin^{2}(4\pi (t-2-\bruch{\pi}{2})}=1[/mm]
Kompliziert, aber richtig (s.u.).
> Daraus ergibt sich für mein Integral:
> [mm]\integral_{2}^{3}{|4\pi i|dt}[/mm] die Stammfunktion [mm]4it\pi.[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm] $|4\pi i|=4\pi$ [/mm] und nicht [mm] $=4\pi [/mm] i$
> Wenn ich jetzt die Integralgrenzen einsetze, erhalte ich:
>
> [mm][12i\pi]-[8i\pi]=4i\pi[/mm]
>
> Richtig?
, aber es ist folgerichtig. Mit der richtigen Stammfunktion kommt [mm] $4\pi$ [/mm] raus.
Hier ein einfachere Vorgehensweise für [mm]\integral_{2}^{3}{|4\pi i e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}.[/mm]
Den Intergranden [mm] $|4\pi [/mm] i [mm] e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|$ [/mm] kann man nach den Rechenregeln für Beträge (z.B. gilt $|a*b|=|a|*|b|$) umformen zu
[mm] $|4\pi [/mm] i [mm] e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|$
[/mm]
[mm] $=|4|*|\pi|*|i|*|e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|$
[/mm]
4 und [mm] $\pi$ [/mm] sind positive Zahlen, also können die Betragzeichen weggelassen werden. Der Betrag von i ist 1, also $|i|=1$. Damit ergibt sich schon mal:
[mm] $=4*\pi*|e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|$
[/mm]
Das Argument des verbliebenen Betrag ist von der Form [mm] $\mathrm{e}^{it}$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$. [/mm] Der Betrag davon ist --siehe fred97s Antwort-- 1, also:
[mm] $=4*\pi$
[/mm]
Für das Integral ergibt sich nun:
[mm]\integral_{2}^{3}{|4\pi i e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}.[/mm]
[mm] $=\integral_{2}^{3}{4\pi dt}$
[/mm]
[mm] $=\left[4\pi t\right]_2^3$
[/mm]
[mm] $=(3-2)*4\pi$
[/mm]
[mm] $=4\pi$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Do 04.06.2009 | | Autor: | tynia |
Das ist echt einfacher. Danke schön für die Geduld
Das was ich hier gepostet habe, ist nur ein Teil der ganzen Aufgabe. Vielleicht könnste du mal gucken, ob die ganze Aufgabe richtig ist, wenn ich damit fertig bin. Könnte aber noch einen Moment dauern. Wäre echt nett
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Do 04.06.2009 | | Autor: | tynia |
Ich soll folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{0}^{1}{|-1-i|dt}+\integral_{1}^{2}{|-i|dt}+\integral_{2}^{3}{|4\pi i e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}+\integral_{3}^{4}{|\wurzel{2}\pi i e^{\pi i(t-3)-\bruch{3i\pi}{4}}|dt}.
[/mm]
Das ist ja dasselbe wie:
[mm] \integral_{0}^{1}{|-1||1+i|dt}+\integral_{1}^{2}{|-1||i|dt}+\integral_{2}^{3}{|4||\pi||i||e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}+\integral_{3}^{4}{|\wurzel{2}||\pi||i||e^{\pi i(t-3)-\bruch{3i\pi}{4}}|dt}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \integral_{0}^{1}{|1+i|dt}+\integral_{1}^{2}{1 dt}+\integral_{2}^{3}{4\pi dt}+\integral_{3}^{4}{\wurzel{2}\pi dt}
[/mm]
= [mm] [|t+it|]^1_0 [/mm] + [t][mm] ^2_1 [/mm] + [mm] [4\pi t]^3_2 +[\wurzel{2}\pi t]^4_3
[/mm]
= 1+i + 2-1 [mm] +12\pi-8\pi [/mm] + [mm] 4\wurzel{2}\pi-3\wurzel{2}\pi
[/mm]
= [mm] 2+i+4\pi+\wurzel{2}\pi
[/mm]
Ist das richtig? Könntest du vielleicht mal gucken, ob das mit den Betragstrichen immer passt? Danke.
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Hallo!
Aufgrund der Beträge in allen Integralen werden die ganze Zeit nur reelle Zahlen aufsummiert. Da kann das Endergebnis ja nicht komplex sein
> [mm]\integral_{0}^{1}{|-1-i|dt}+\integral_{1}^{2}{|-i|dt}+\integral_{2}^{3}{|4\pi i e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}+\integral_{3}^{4}{|\wurzel{2}\pi i e^{\pi i(t-3)-\bruch{3i\pi}{4}}|dt}.[/mm]
>
> Das ist ja dasselbe wie:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{|-1||1+i|dt}+\integral_{1}^{2}{|-1||i|dt}+\integral_{2}^{3}{|4||\pi||i||e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}+\integral_{3}^{4}{|\wurzel{2}||\pi||i||e^{\pi i(t-3)-\bruch{3i\pi}{4}}|dt}[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{|1+i|dt}+\integral_{1}^{2}{1 dt}+\integral_{2}^{3}{4\pi dt}+\integral_{3}^{4}{\wurzel{2}\pi dt}[/mm]
Hier ist noch alles richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> = [mm][|t+it|]^1_0[/mm] + [t][mm]^2_1[/mm] + [mm][4\pi t]^3_2 +[\wurzel{2}\pi t]^4_3[/mm]
Die letzten drei Summanden hast du bis zum Endergebnis richtig behandelt.
Bei ersten halte ich es für äußerst ungünstig, dass t in den Betrag reinzuziehen. |1+i| ist doch auch bloß eine Konstante und im Übrigen gilt (!): [mm] $|\red{1}+\blue{1}*i| = \sqrt{\red{1}^{2} + \blue{1}^{2}} [/mm] = [mm] \sqrt{2}$
[/mm]
[mm] $\integral_{0}^{1}{|1+i|dt} [/mm] = [mm] \sqrt{2}*\integral_{0}^{1}{1\ dt} [/mm] = [mm] \sqrt{2}*(1-0) [/mm] = [mm] \sqrt{2}$
[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 04.06.2009 | | Autor: | tynia |
Also müsste es doch so aussehen:
[mm] [\wurzel{2}t]^1_0 [/mm] + [t][mm] ^2_1 [/mm] + [mm] [4\pi t]^3_2 +[\wurzel{2}\pi t]^4_3
[/mm]
Das Ergebnis davon ist:
[mm] \wurzel{2}+1+4\pi+\wurzel{2}\pi
[/mm]
Das ist dann die entgültige Lösung?
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Hallo!
> Also müsste es doch so aussehen:
>
> [mm][\wurzel{2}t]^1_0[/mm] + [t][mm]^2_1[/mm] + [mm][4\pi t]^3_2 +[\wurzel{2}\pi t]^4_3[/mm]
>
> Das Ergebnis davon ist:
>
> [mm]\wurzel{2}+1+4\pi+\wurzel{2}\pi[/mm]
Alles richtig Man könnte noch [mm] \pi [/mm] ausklammern 
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Do 04.06.2009 | | Autor: | tynia |
Danke schön.
LG
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