Betrag konvergenter Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich überlege gerade, ob der Betrag einer konvergenten Folge ebenfalls konvergent ist. Ich habe mir gedacht nein, da Reihen als Folgen dargestellt werden können und beispielsweise [mm] a_{n}= \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] konvergiert, aber [mm] |a_{n}|= [/mm] | [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] | = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n} [/mm] nicht konvergiert.
Ich bin jetzt auf der Suche nach einem einfacheren Beispiel, indem kein Summenzeichen vorkommt also eine einfache Zahlenfolge in [mm] \IR [/mm] , aber irgendwie will mir keine einfallen, vllt. hat ja jemand eine für mich oder ist mein Grundgedanke schon falsch?
LG
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> Hi,
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> ich überlege gerade, ob der Betrag einer konvergenten
> Folge ebenfalls konvergent ist. Ich habe mir gedacht nein,
> da Reihen als Folgen dargestellt werden können und
> beispielsweise [mm]a_{n}= \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm]
> konvergiert, aber [mm]|a_{n}|=[/mm] | [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm]
> | = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}[/mm] nicht konvergiert.
> Ich bin jetzt auf der Suche nach einem einfacheren
> Beispiel, indem kein Summenzeichen vorkommt also eine
> einfache Zahlenfolge in [mm]\IR[/mm] , aber irgendwie will mir keine
> einfallen, vllt. hat ja jemand eine für mich oder ist mein
> Grundgedanke schon falsch?
>
> LG
Der Betrag einer konvergenten Folge ist ebenfalls konvergent, also gibt es kein Gegenspeispiel.
Deine Überlegung ist falsch, denn
[mm] |\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{n}|\ne \summe_{i=1}^{n}| \bruch{(-1)^{n}}{n}|=\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}
[/mm]
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danke,
ich dachte mir, dass ich etwas übersehen haben muss.
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