Betrag eines komplexen Vektors < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
warum ist der Betrag eines komplexend Vektors mit v=(0,1,i,0)T
Wurzel(2) ?
Also, nach meiner Rechnung müsste die Länge null sein, da 1²+i²=0 sind.
Diese Rechnung kommt in der Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahen vor.
Wäre meine Rechnung richtig, dann wäre es ja auch ein Nullvektor und dann könnte ich das ja auch garnicht mit dem Verfahren lösen, da v ungleich 0 sein muss.
Verstehe das alles nicht ganz. Aber laut Musterlösung muss der Betrag Wurzel(2) sein und dann würde das Verfahren ja auch klappen.
T=Transponiert
Bitte um eure Hilfe.
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Hi,
es gilt für das komplexe Skalarprodukt doch: [mm] $\langle u,v\rangle [/mm] = [mm] \overline{u}^T \cdot{} [/mm] v$
D.h. du musst $i$ einmal komplex konjugieren.
Gruß Patrick
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Danke für die Antwort.
Verstehe nur nicht ganz, was Skalarprodukt mit der Länge eines Vektors zu tun haben soll?
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Hallo Mathefreund,
> Danke für die Antwort.
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> Verstehe nur nicht ganz, was Skalarprodukt mit der Länge
> eines Vektors zu tun haben soll?
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Betrag von Vektoren
Gruß
MathePower
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> warum ist der Betrag eines komplexend Vektors mit
> v=(0,1,i,0)T Wurzel(2) ?
1.) handelt es sich bei diesem Vektor um einen Vektor mit 4
Komponenten, also
[mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\i\\0} [/mm] ?
2.) der Betrag ist bestimmt nicht 0, denn nur der Nullvektor
hat den Betrag 0
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1. Ja das ist der Vektor mit 4 Komponenten.
2. War mir so garnicht mehr bewusst, aber stimmt natürlich Nullvektor ist nur der Vektor desen Elemente alle 0 sind.
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Danke für die Antworten.
Habe zwar den Rechenweg immernoch nicht verstanden, aber werde mal einwenig nachlesen und weitere Aufgaben rechnen.
Kann mir jemand viell. noch schnell sagen,
warum von der Gleichung [mm] z^5=5;
[/mm]
[mm] z=5^0 [/mm] * e^(0*i*pi) und [mm] z=5^2 [/mm] * e^(4*i*pi) Lösungen sind?
Mit der Moivre Formel und den allgemeinen Rechnenregel komme ich irgendwie nicht ans Ziel. Bei der Moivre Regel scheitert es an dem Vorfaktor, der wird bei mir nicht 1 oder 25.
Gruß
Mathefreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Fr 18.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke für die Antworten.
> Habe zwar den Rechenweg immernoch nicht verstanden, aber
> werde mal einwenig nachlesen und weitere Aufgaben rechnen.
>
> Kann mir jemand viell. noch schnell sagen,
>
> warum von der Gleichung [mm]z^5=5;[/mm]
>
> [mm]z=5^0[/mm] * e^(0*i*pi) und [mm]z=5^2[/mm] * e^(4*i*pi) Lösungen sind?
Wer behauptet den sowas?
[mm] 5^0*e^{0*i*pi} [/mm] ist einfach [mm] 1*e^0, [/mm] also 1.
Die Lösungen sind [mm] \wurzel[5]{5}*(cos \bruch{2*n*\pi}{5}+i*sin \bruch{2*n*\pi}{5}).
[/mm]
>
>
> Mit der Moivre Formel und den allgemeinen Rechnenregel
> komme ich irgendwie nicht ans Ziel. Bei der Moivre Regel
> scheitert es an dem Vorfaktor, der wird bei mir nicht 1
> oder 25.
>
> Gruß
> Mathefreund
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:24 Fr 25.09.2009 | | Autor: | bernhard1 |
Hallo,
ich weiß jetzt, wie ich den Betrag eines komlexen Vektors berechne. Aber wie berechne ich die Phase?
Beispielvektor: v=(2+i ; -3+2i)
Wie berechne ich von einem Vektor den Phasenwinkel?
Alternativ könnte ich auch fragen: Wie berechne ich den vorzeichenrichtigen Realteil des Vektors?
Ich hoffe, mir kann jemand bei diesem Thema weiterhelfen. Danke...
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> Hallo,
> ich weiß jetzt, wie ich den Betrag eines komplexen Vektors
> berechne. Aber wie berechne ich die Phase?
>
> Beispielvektor: v=(2+i ; -3+2i)
>
> Wie berechne ich von einem Vektor den Phasenwinkel?
> Alternativ könnte ich auch fragen: Wie berechne ich den
> vorzeichenrichtigen Realteil des Vektors?
>
> Ich hoffe, mir kann jemand bei diesem Thema weiterhelfen.
> Danke...
Man kann vom Phasenwinkel (oder Polarwinkel, Argu-
ment) einer komplexen Zahl sprechen, allenfalls auch
vom Phasenwinkel zwischen zwei komplexen Zahlen.
Was aber ein "Phasenwinkel" eines komplexwertigen
Vektors (mit 2 oder mehr Komponenten) sein sollte,
ist mir rätselhaft.
Auch was du mit "vorzeichenrichtigem Realteil" eines
solchen Vektors meinen magst, ist mir nicht klar.
Woher hast du denn die Fragen ? Vielleicht sind sie
so sinnvoll wie die nach der Temperatur der Zahl i .
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Mo 28.09.2009 | | Autor: | bernhard1 |
Hallo,
erst einmal Danke für eure Antworten. Hmm, also vielleicht erläutere ich das Problem einmal etwas ausführlicher.
Man denke sich folgende Situation:
Ein Punkt führt harmonische Schwingungen mit einer festen Frequnz f durch. Diese Schwingungen möchte ich mit komplexen Zahlen beschreiben. In x-Richtung vollführt der Punkt Schwingungen, die sich mit 2+i beschreiben lassen, in y-Richtung mit 3+2i.
Möchte ich die Überlagerung dieser beiden Schwingungen berechnen, so addiere ich die beiden Schwingungsvektoren.
Ich müsste doch diese überlagerte Geschwindigkeit wieder mit einer komplexen Zahl darstellen können? Oder? Und dazu fehlt mir der Phasenwinkel, denke ich.
Wie kann ich dieses Problem lösen, oder wo habe ich einen Denkfehler in meinem Vorgehen?
Vielen lieben Dank für eure Hilfe...
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Hallo,
erst einmal Danke für eure Antworten. Hmm, also vielleicht erläutere ich das Problem einmal etwas ausführlicher.
Man denke sich folgende Situation:
Ein Punkt führt harmonische Schwingungen mit einer festen Frequnz f durch. Diese Schwingungen möchte ich mit komplexen Zahlen beschreiben. In x-Richtung vollführt der Punkt Schwingungen, die sich mit 2+i beschreiben lassen, in y-Richtung mit 3+2i.
Möchte ich die Überlagerung dieser beiden Schwingungen berechnen, so addiere ich die beiden Schwingungsvektoren.
Ich müsste doch diese überlagerte Geschwindigkeit wieder mit einer komplexen Zahl darstellen können? Oder? Und dazu fehlt mir der Phasenwinkel, denke ich.
Wie kann ich dieses Problem lösen, oder wo habe ich einen Denkfehler in meinem Vorgehen?
Vielen lieben Dank für eure Hilfe...
Hallo Bernhard,
wenn ich dies richtig verstanden habe, hast du also
einen Punkt, der sich in der x-y-Ebene nach der
Parameterdarstellung
[mm] $\begin{cases} x(t)=Re\left((2+i)*e^{i\,\omega\,t}\right)\\ y(t)=Re\left((3+2\,i)*e^{i\,\omega\,t}\right) \end{cases}$
[/mm]
bewegt. Ist die Frequenz [mm] \omega [/mm] für die Bewegung in x- und
y-Richtung identisch, müsste daraus eine einfache
Lissajous-Kurve in Form einer Ellipse entstehen.
Ich glaube nicht, dass die Addition der komplexen
Amplituden, also
[mm] (2+i)+(3+2\,i)=5+3\,i
[/mm]
dabei Sinn macht, bezieht sich doch der erste Summand
auf die x-Werte, der zweite auf die y-Werte. Die Amplitude
[mm] 5+3\,i [/mm] würde einem eindimensionalen Oszillator entsprechen,
der aus der Überlagerung zweier eindimensionalen Schwin-
gungen in derselben Richtung entsteht.
LG Al-Chw.
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Hallo,
ja genau das ist meine Problemstellung. Dass man nicht einfach die Realteile und Imaginärteile addieren kann, habe ich mir auch schon überlegt. Daher war mein Gedanke, dass man als erstes den addierten Vektor der Geschwindigkeit
v=(2+i ; 3+2i) aufstellt. Mein Gedanke war nun, dass man von diesem Vektor nun irgendwie wieder auf eine komplexe Zahl kommt mit einem Real- und Imaginärteil, bzw mit Betrag und Phase. Der Betrag ließe sich ja, wie zu Beginn dieses Themenblocks beschrieben, berechnen und wäre für dieses Beispiel "Wurzel_aus_18". Aber wie groß wäre die Phase?
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Hallo bernhard1,
> Hallo,
> ja genau das ist meine Problemstellung. Dass man nicht
> einfach die Realteile und Imaginärteile addieren kann,
> habe ich mir auch schon überlegt. Daher war mein Gedanke,
> dass man als erstes den addierten Vektor der
> Geschwindigkeit
> v=(2+i ; 3+2i) aufstellt. Mein Gedanke war nun, dass man
> von diesem Vektor nun irgendwie wieder auf eine komplexe
> Zahl kommt mit einem Real- und Imaginärteil, bzw mit
> Betrag und Phase. Der Betrag ließe sich ja, wie zu Beginn
> dieses Themenblocks beschrieben, berechnen und wäre für
> dieses Beispiel "Wurzel_aus_18". Aber wie groß wäre die
> Phase?
Das naheliegendeste ist nätürlich,
den Winkel zwischen den Vektoren
[mm]\pmat{2 \\ 3}[/mm]
und
[mm]\pmat{1 \\ 2}[/mm]
zu
berechnen.
Gruss
MathePower
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> Hallo bernhard1,
>
> > Hallo,
> > ja genau das ist meine Problemstellung. Dass man nicht
> > einfach die Realteile und Imaginärteile addieren kann,
> > habe ich mir auch schon überlegt. Daher war mein Gedanke,
> > dass man als erstes den addierten Vektor der
> > Geschwindigkeit
> > v=(2+i ; 3+2i) aufstellt. Mein Gedanke war nun, dass
> man
> > von diesem Vektor nun irgendwie wieder auf eine komplexe
> > Zahl kommt mit einem Real- und Imaginärteil, bzw mit
> > Betrag und Phase. Der Betrag ließe sich ja, wie zu Beginn
> > dieses Themenblocks beschrieben, berechnen und wäre für
> > dieses Beispiel "Wurzel_aus_18". Aber wie groß wäre die
> > Phase?
>
>
> Das naheliegendeste ist nätürlich,
> den Winkel zwischen den Vektoren
>
> [mm]\pmat{2 \\ 3}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\pmat{1 \\ 2}[/mm]
>
> zu
>
> berechnen.
>
>
> Gruss
> MathePower
Naja, wenn man einfach mal irgendwas rechnen will ...
Aber was hätte der entstehende Winkel wirklich mit
der vorliegenden Bewegung des Punktes in der Ebene
zu tun ?
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> warum ist der Betrag eines komplexend Vektors mit
> v=(0,1,i,0)T
> Wurzel(2) ?
>
> Also, nach meiner Rechnung müsste die Länge null sein, da
> 1²+i²=0 sind.
> Diese Rechnung kommt in der Gram-Schmidt'schen
> Orthogonalisierungsverfahen vor.
> Wäre meine Rechnung richtig, dann wäre es ja auch ein
> Nullvektor und dann könnte ich das ja auch garnicht mit
> dem Verfahren lösen, da v ungleich 0 sein muss.
>
> Verstehe das alles nicht ganz. Aber laut Musterlösung muss
> der Betrag Wurzel(2) sein und dann würde das Verfahren ja
> auch klappen.
>
> T=Transponiert
wie schonmal erwähnt gilt [mm] $|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\odot\vec{v}}$ [/mm] für [mm] $\vec{v} \in \IC^n$ [/mm] (oben ist speziell $n=4$), wobei [mm] $\odot$ [/mm] das auf [mm] $\IC^n \times \IC^n$ [/mm] definierte Standardskalarprodukt sei. D.h. es gilt
[mm] $$\vec{v} \odot \vec{w}=\sum_{k=1}^n v_k*\overline{w_k}$$
[/mm]
für [mm] $\vec{v},\;\vec{w} \in \IC^n\,.$
[/mm]
Oben ist [mm] $\vec{v}=\vec{w}=\vektor{0\\1\\i\\0}\,,$ [/mm] also gilt wegen [mm] $\overline{\vec{w}}=\overline{\vec{v}}=\vektor{\overline{0}\\\overline{1}\\\overline{i}\\\overline{0}}=\vektor{0\\1\\-i\\0}$ [/mm] somit
[mm] $$\vec{v}*\overline{\vec{v}}=(0,1,i,0)\;*\;\vektor{0\\1\\-i\\0}=0*0+1*1+i*(-i)+0*0=0+1-i^2+0=1-(-1)=2\,.$$
[/mm]
Daraus folgt mit [mm] $|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\odot \overline{\vec{v}}}=\sqrt{2}$ [/mm] die Behauptung.
P.S.:
[mm] $*\,$ [/mm] bezeichnet oben - neben der üblichen Multiplikation in [mm] $\IC$ [/mm] - auch die Multiplikation von Matrizen. An welchen Stellen dies der Fall ist, ist Dir hoffentlich klar?!
Gruß,
Marcel
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