Beträge und Ungleichungen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 03.01.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR [/mm] mit
(i) 6x - [mm] 6x^{2} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] < 0
(ii) |2x + 1| = |x - 1| + 1 |
Also bei (i) habe ich einfach erstmal x ausgeklammert und konnte dann sagen, dass es für alle x < 0 zutrifft. Auf den Rest
[mm] x^{2} [/mm] - 6x + 6 < 0
habe ich pq-Formel angewandt und bekomme zwei Ergebnisse raus, aber sobald ich die in obige Formel einsetze kommt beide Male exakt 0 heraus und es muss ja < 0 sein oder nicht? (Ergebnisse nach pq-Formel waren : 3 [mm] \pm \wurzel{3})
[/mm]
Und bei (ii) habe ich keine wirkliche Idee, wie ich anfange, weil ich noch nicht mit Beträgen gerechnet habe.
al3pou
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Hallo al3pou,
> Bestimmen Sie alle x [mm]\in \IR[/mm] mit
>
> (i) 6x - [mm]6x^{2}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] < 0
> (ii) |2x + 1| = |x - 1| + 1
> Also bei (i) habe ich einfach erstmal x ausgeklammert und
> konnte dann sagen, dass es für alle x < 0 zutrifft. Auf
> den Rest
>
> [mm]x^{2}[/mm] - 6x + 6 < 0
>
> habe ich pq-Formel angewandt und bekomme zwei Ergebnisse
> raus, aber sobald ich die in obige Formel einsetze kommt
> beide Male exakt 0 heraus und es muss ja < 0 sein oder
> nicht? (Ergebnisse nach pq-Formel waren : 3 [mm]\pm \wurzel{3})[/mm]
>
Dann kannst Du die Ungleichung in der Form
[mm]\left(x-x_{1}\right)*\left(x-x_{2}\right) < 0[/mm]
schreiben, wobei
[mm]x_{1}=3-\wurzel{3}, \ x_{2}=3+\wurzel{3}[/mm]
Hier musst Du dann wieder Fallunterscheidungen machen.
> Und bei (ii) habe ich keine wirkliche Idee, wie ich
> anfange, weil ich noch nicht mit Beträgen gerechnet habe.
>
Hier musst Du die Betragsstriche auflösen.
> al3pou
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 03.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Danke für die schnelle Antwort, aber so richtig verstehe ich das nicht. Ich hab das jetzt eingesetzt, aber was für eine Fallunterscheidung soll es denn da geben?
(x - 3 + [mm] \wurzel{3})(x [/mm] - 3 - [mm] \wurzel{3}) [/mm] < 0
Und dann habe ich immernoch nie mit Beträgen gerechnet und weiß nicht wie man die auflöst. Das einzige war mir einfallen würde dazu ist, dass es doch auch wieder in einer Fallunterscheidung resultiert.
Gruss al3pou
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Hallo al3pou,
> Danke für die schnelle Antwort, aber so richtig verstehe
> ich das nicht. Ich hab das jetzt eingesetzt, aber was für
> eine Fallunterscheidung soll es denn da geben?
>
> (x - 3 + [mm]\wurzel{3})(x[/mm] - 3 - [mm]\wurzel{3})[/mm] < 0
>
Diese Ungleichung ist erfüllt, wenn
i) [mm]x-3+\wurzel{3} > 0 \wedge x-3-\wurzel{3} < 0 [/mm]
ii) [mm]x-3+\wurzel{3} < 0 \wedge x-3-\wurzel{3} > 0 [/mm]
> Und dann habe ich immernoch nie mit Beträgen gerechnet und
> weiß nicht wie man die auflöst. Das einzige war mir
> einfallen würde dazu ist, dass es doch auch wieder in
> einer Fallunterscheidung resultiert.
>
Das ist auch richtig.
Siehe dazu: Betrag
> Gruss al3pou
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 08.01.2012 | | Autor: | al3pou |
okay, ich hab das jetzt aufgelöst für die erste Aufgabe.
Also x < 0 sowie (i) x > 3 - [mm] \wurzel{3} \wedge [/mm] x < 3 + [mm] \wurzel{3}
[/mm]
(ii) x < 3 - [mm] \wurzel{3} \wedge [/mm] x > 3 - [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Wie schreib ich dann die Lösungsmenge?
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Hallo al3pou,
> okay, ich hab das jetzt aufgelöst für die erste Aufgabe.
>
> Also x < 0 sowie (i) x > 3 - [mm]\wurzel{3} \wedge[/mm] x < 3 +
> [mm]\wurzel{3}[/mm]
> (ii) x < 3 - [mm]\wurzel{3} \wedge[/mm] x > 3 -
> [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
Hier sollte das doch so lauten:
[mm] x < 3 - \wurzel{3} \wedge x > 3 \blue{+} \wurzel{3}[/mm]
> Wie schreib ich dann die Lösungsmenge?
Jetzt musst Du erst schauen,
welche Bedingungen gleichzeitig erfüllt werden können.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 So 08.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Jau, das mit dem falschen Zeichen war ein Schreibfehler von mir.
Also wenn ich mich nicht irre, dann würde das so aussehen mit der Lösungsmenge
[mm] \IL_{1} [/mm] = {0} , [mm] \IL_{2} [/mm] = ]3 - [mm] \wurzel{3}; [/mm] 3 + [mm] \wurzel{3}[, \IL_{2} [/mm] = ?3 - [mm] l\wurzel{3}; [/mm] 3 + [mm] \wurzel{3}?
[/mm]
wobei ich sagen muss, dass ich mir bei den anderen beiden Lösungsmengen nicht sicher bin mit den Klammern.
Dann würde ich sagen dass entweder die drei Ergbnisse einzeln auftreten oder das x = 0 ist und kleiner als [mm] 3-\wurzel{3}
[/mm]
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Hallo al3pou,
> Jau, das mit dem falschen Zeichen war ein Schreibfehler von
> mir.
> Also wenn ich mich nicht irre, dann würde das so aussehen
> mit der Lösungsmenge
>
> [mm]\IL_{1}[/mm] = {0} , [mm]\IL_{2}[/mm] = ]3 - [mm]\wurzel{3};[/mm] 3 +
Für den Fall x < 0 ergibt sich doch die Lösungsmenge zu;
[mm]\IL_{1} = \left\{ x \in \IR \left|\right x < 0\right\}[/mm]
> [mm]\wurzel{3}[, \IL_{2}[/mm] = ?3 - [mm]l\wurzel{3};[/mm] 3 + [mm]\wurzel{3}?[/mm]
>
> wobei ich sagen muss, dass ich mir bei den anderen beiden
> Lösungsmengen nicht sicher bin mit den Klammern.
> Dann würde ich sagen dass entweder die drei Ergbnisse
> einzeln auftreten oder das x = 0 ist und kleiner als
> [mm]3-\wurzel{3}[/mm]
Für den Fall x < 0 muss [mm] x^{2} - 6x + 6 > 0 [/mm] sein.
Für den Fall x > 0 muss [mm] x^{2} - 6x + 6 < 0 [/mm] sein.
den Du hier offensichtlich betrachtest hast.
Damit triff hier nur der Fall i) zu.
Daher die Lösungsmenge für diesen Fall:
[mm]\IL_{2} = \left\{x \in \IR \left|\right x \in ]3 - \wurzel{3}; 3 + \wurzel{3}[ \right\}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:52 Mo 09.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, das mit der ersten Aufgabe habe ich verstanden, aber ich komme bei den Beträgen nicht weiter.
Also Aufgaben ist ja
|2x + 1| = | x - 1| + 1
Dann schaue ich mir den ersten Fall an
(i) x [mm] \ge [/mm] 1
-> 2x + 1 = x
[mm] \gdw [/mm] x = -1
das geht nicht, weil x ja nicht kleiner 1 ist.
Dann hätte ich mir für den zweiten Fall das x nicht kleiner gleich -(0.5) ist, aber dabei bin ich mir überhaupt nicht sicher, weil ich eine negative Zahl einsetze und ich mich nicht wirklich mit Beträgen verstehe. Naja hab das dann mal gemacht.
(ii) x [mm] \le [/mm] -0.5
-> -2x - 1 = -x + 1 + 1
[mm] \gdw [/mm] x = -3
Somit wäre die Lösung dieser Gleichung [mm] \IL [/mm] = {-3}
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, das mit der ersten Aufgabe habe ich verstanden, aber
> ich komme bei den Beträgen nicht weiter.
> Also Aufgaben ist ja
>
> |2x + 1| = | x - 1| + 1
>
> Dann schaue ich mir den ersten Fall an
>
> (i) x [mm]\ge[/mm] 1
>
> -> 2x + 1 = x
> [mm]\gdw[/mm] x = -1
>
> das geht nicht, weil x ja nicht kleiner 1 ist.
> Dann hätte ich mir für den zweiten Fall das x nicht
> kleiner gleich -(0.5) ist, aber dabei bin ich mir
> überhaupt nicht sicher, weil ich eine negative Zahl
> einsetze und ich mich nicht wirklich mit Beträgen
> verstehe. Naja hab das dann mal gemacht.
>
> (ii) x [mm]\le[/mm] -0.5
>
> -> -2x - 1 = -x + 1 + 1
> [mm]\gdw[/mm] x = -3
>
> Somit wäre die Lösung dieser Gleichung [mm]\IL[/mm] = {-3}
der 2. Fall ist richtig. Bisher weißt Du aber nur, dass $-3 [mm] \in L\,,$ [/mm] also [mm] $\{-3\} \subseteq L\,.$
[/mm]
Beachte: Du hast bisher nur die Fälle
$$x [mm] \le [/mm] -0.5 [mm] \text{ oder }x \ge 1\,,$$
[/mm]
also
$$x [mm] \in ]-\infty,\;-0.5] \cup [1,\;\infty[$$
[/mm]
behandelt.
Was ist mit $-0.5 < x < 1$?
P.S.:
Zur Erstellung aller (rein theoretisch möglichen) Fälle, ohne welche zu verlieren:
Um die Gleichung
[mm] $$(\star)\;\;\;|2x [/mm] + 1| = | x - 1| + [mm] 1\,$$
[/mm]
zu behandeln, hat man wegen des Betrags 4 erstmal mögliche Fälle:
Um das zu sehen, setzen wir
[mm] $$a=a(x):=2x+1,\;\;\; \text [/mm] { und [mm] }b=b(x):=x-1\,.$$
[/mm]
Dann geht obige Gleichung über in
[mm] $$|a|=|b|+1\,,$$
[/mm]
und da man weiß:
[mm] $$|r|=\begin{cases} r, & \mbox{für } r \ge 0\\ -r, & \mbox{für }r < 0 \end{cases}$$
[/mm]
(zur Behandlung von [mm] $|r|\,$ [/mm] unterscheidet man zwei Fälle), sieht man, dass man zur Behandlung von [mm] $(\star)$ [/mm] auf 4 mögliche Fälle kommt:
1. Fall: $a [mm] \ge [/mm] 0$ und $b [mm] \ge 0\,.$ [/mm] (gleichzeitig!)
2. Fall: $a [mm] \ge [/mm] 0$ und $b < [mm] 0\,.$ [/mm] (gleichzeitig!)
3. Fall: $a < 0$ und $b [mm] \ge 0\,.$ [/mm] (gleichzeitig!)
4. Fall: $a < 0$ und $b < [mm] 0\,.$ [/mm] (gleichzeitig!)
Wenn Du diese alle so abklapperst, kannst Du eigentlich keinen möglichen Fall verlieren.
Oben hast Du zuerst nun quasi den 1. Fall schon behandelt, denn aus $b [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \;\;(\gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1)$ folgt ja schon, dass $a [mm] \ge [/mm] 0$ gilt, da im Falle $x [mm] \ge [/mm] 1$ natürlich auch $2x+1 [mm] \ge [/mm] 0$ ist.
Der 3. Fall ist also gar nicht möglich.
Danach hast Du, weil man aus $a [mm] \le [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] -0.5$ folgern kann, dass auch $b [mm] \le [/mm] 0$ gilt, da
$$x [mm] \le [/mm] -0.5 [mm] \Rightarrow [/mm] -x-1 < 0$$
gilt, auch den 4. Fall behandelt.
Du hast bisher also behandelt:
Fall 1, Fall 4, indirekt Fall 3 (weil dieser nicht möglich ist, das steht indirekt in Fall 1 mit drin). Aber was ist nun mit Fall 2?
Dieser besagt:
Untersuche, was los ist, falls
$$a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \text{ und }b [/mm] < [mm] 0\,,$$
[/mm]
also falls
$$2x+1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \text{ und }x-1 [/mm] < 0$$
[mm] $$\gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] -0.5 [mm] \text{ und }x [/mm] < 1$$
[mm] $$\gdw [/mm] -0.5 [mm] \le [/mm] x < [mm] 1\,.$$
[/mm]
D.h., in Deinen Untersuchungen fehlt, wie von mir bereits oben erwähnt, der Fall
$$-0.5 [mm] \le [/mm] x [mm] <1\,.$$
[/mm]
(Strenggenommen fehlt bei Dir der Fall $-0.5 < x < [mm] 1\,,$ [/mm] denn Du hast eigentlich nicht nur $b < [mm] 0\,,$ [/mm] sondern "sogar" $b [mm] \le [/mm] 0$ geschrieben gehabt - wobei Du dann den 4. Fall oben natürlich insbesondere mitbehandelst.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:23 Mo 09.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Hm okay. Also erstmal das war ziemlich ausführlich und hat mir doch schon weitergeholfen. Hoffe ich :)
Für den Fall -0.5 [mm] \le [/mm] x < 1:
a(x) = 2x + 1
b(x) = x - 1
a(x) ist immer > 0 und b(x) immer < 0 also heißt das für die Gleichung
2x + 1 = 1 - x + 1
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Also (ich hoffe mal das jetzt die "Rechnung" richtig war und die Schreibweise jetzt auch) gilt für die Lösungsmenge
[mm] \IL [/mm] = { [mm] -3,\bruch{1}{3} [/mm] }
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Hallo al3pou,
> Hm okay. Also erstmal das war ziemlich ausführlich und hat
> mir doch schon weitergeholfen. Hoffe ich :)
>
> Für den Fall -0.5 [mm]\le[/mm] x < 1:
>
> a(x) = 2x + 1
> b(x) = x - 1
>
> a(x) ist immer > 0 und b(x) immer < 0 also heißt das für
> die Gleichung
>
> 2x + 1 = 1 - x + 1
> [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Also (ich hoffe mal das jetzt die "Rechnung" richtig war
> und die Schreibweise jetzt auch) gilt für die
> Lösungsmenge
>
> [mm]\IL[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]-3,\bruch{1}{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
[mm]\IL = \{ -3,\bruch{1}{3} \}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:22 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Lösungsmenge lautet doch:
>
> [mm]\IL =\{x \in \IR \left|\right -\blue{\bruch{1}{2}}\le x < \bruch{1}{3} \}[/mm]
nein, das ist nicht die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] $$|2x+1|=|x-1|+1\,.$$
[/mm]
Vermutlich beziehst Du Dich auf eine anderen Aufgabe!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 00:54 Di 10.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathepower,
> Hallo al3pou,
>
> > Hm okay. Also erstmal das war ziemlich ausführlich und hat
> > mir doch schon weitergeholfen. Hoffe ich :)
> >
> > Für den Fall -0.5 [mm]\le[/mm] x < 1:
> >
> > a(x) = 2x + 1
> > b(x) = x - 1
> >
> > a(x) ist immer > 0 und b(x) immer < 0 also heißt das für
> > die Gleichung
> >
> > 2x + 1 = 1 - x + 1
> > [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> >
> > Also (ich hoffe mal das jetzt die "Rechnung" richtig war
> > und die Schreibweise jetzt auch) gilt für die
> > Lösungsmenge
> >
> > [mm]\IL[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> = { [mm]-3,\bruch{1}{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> }
>
>
>
> Die Lösungsmenge für diesen Fall lautet doch:
>
> [mm]\IL =\{x \in \IR \left|\right -\blue{\bruch{1}{2}}\le x < \bruch{1}{3} \}[/mm]
ich betone es erneut: Seine Lösungsmenge war absolut korrekt. Es ging hier um die Gleichung
[mm] $$|2x+1|=|x-1|+1\,.$$
[/mm]
Setze ich gemäß Deiner Lösungsmenge etwa $x=-1/2$ dort ein, so erhalte ich die Unwahrheit
[mm] $$0=5/2\,.$$
[/mm]
Auch, gemäß Deiner Lösung, wäre [mm] $x=0\,$ [/mm] eine Lösung dieser Gleichung, aber
$$1=2$$
gilt auch nicht. Bitte korrigiere Deine Antwort, oder aber lasse sie als fehlerhaft stehen. Es verwirrt nur weitere Leser und Leserinnen, wenn eine falsche Antwort als "korrigiert" markiert wurde, ohne, dass die Fehler beseitigt wurden. Und eigentlich ist das hier ein fundamentaler Fehler, da Deine Lösungsmenge sicher nicht die der obigen Gleichung ist - zumal ich mir 100% sicher bin, dass Du Dir dessen bewußt bist!
Fehler passieren nun mal - man kann sie korrigieren, oder muss damit leben, dass man sie gemacht hat!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hm okay. Also erstmal das war ziemlich ausführlich und hat
> mir doch schon weitergeholfen. Hoffe ich :)
>
> Für den Fall -0.5 [mm]\le[/mm] x < 1:
>
> a(x) = 2x + 1
> b(x) = x - 1
>
> a(x) ist immer > 0 und b(x) immer < 0 also heißt das für
> die Gleichung
>
> 2x + 1 = 1 - x + 1
> [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Also (ich hoffe mal das jetzt die "Rechnung" richtig war
> und die Schreibweise jetzt auch) gilt für die
> Lösungsmenge
>
> [mm]\IL = \left\{ -3,\bruch{1}{3}\right\}[/mm]
das ist korrekt. Zum Testen (natürlich können wir so eigentlich nur testen, ob $-3,(1/3) [mm] \in \IL$):
[/mm]
Ausgangsgleichung war
[mm] $$|2x+1|=|x-1|+1\,.$$
[/mm]
Setzen wir [mm] $x=-3\,$ [/mm] ein, so haben wir
$$|2*x+1|=|-5|=5$$
und
[mm] $$|-4|+1=5\,.$$
[/mm]
Also $3 [mm] \in \IL$ [/mm] ist schonmal korrekt.
Ferner folgt für $x=1/3$
$$|2*x+1|=5/3$$
sowie
[mm] $$|x-1|+1=|-2/3|+1=5/3\,.$$
[/mm]
Also auch $1/3 [mm] \in \IL\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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