Betafunktion Lebesgue-Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass $ B(x,y) := [mm] \integral_{0}^{1}{t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt} [/mm] $ als Lebesgue-Integral wohldefiniert ist. |
Reicht es hier aus, das Integral einfach auszurechnen? Das würde mit (x-1)-mal partieller Integration
$ B(x,y) $:= [mm] \integral_{0}^{1}{t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt} [/mm] = [mm] [t^{x-1}(-1)\bruch{(1-t)^y}{y}]_{0}^{1} [/mm] + [mm] \bruch{x-1}{y}\integral_{0}^{1}{t^{x-2}(1-t)^ydt} [/mm] = [mm] \bruch{x-1}{y}\integral_{0}^{1}{t^{x-2}(1-t)^ydt} [/mm] = ... = [mm] (-1)^{x-1}\bruch{(x-1)!(y-1)!}{(y+x-2)!}\integral_{0}^{1}{(1-t)^{x+y-2}dt} [/mm] = [mm] (-1)^{x}\bruch{(x-1)!(y-1)!}{(y+x-2)!}\integral_{0}^{1}{s^{x+y-2}ds} [/mm] = [mm] (-1)^{x}\bruch{(x-1)!(y-1)!}{(y+x-1)!}
[/mm]
ergeben. Da das kleiner als [mm] \infty [/mm] ist => Integral ist wohldefiniert?! Aber wo spielt dann Lebesgue mit rein?
danke, lg
|
|
| |
|
Rechenkatastrophe!
[mm](u+v)^{\alpha} \neq u^{\alpha} + v^{\alpha}[/mm]
|
|
|
| |
|
aarr wie peinlich^^..., aber egal, ich habs korrigiert. Die Frage bleibt aber trotzdem gleich...
|
|
|
| |
|
Hiho,
partielle Integration ist eine nette Idee, es gilt hier aber sicherlich mindestens x>0, wenn nicht sogar [mm] $x\in\IR$, [/mm] so dass du mit deiner partiellen Integration wohl nicht zum Ziel kommen wirst.....
Ausrechnen wäre ein guter Weg, denn wenn das Integral im Riemannschen Sinne existiert, dann auch im Lebesgueschen Sinne.
Vermutlich ist aber auch das nicht notwendig, wenn du geeignet abschätzt.
Gruß
Gono.
|
|
|
|
