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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Di 24.07.2012 | | Autor: | taiBsu |
| Aufgabe | | Die Einheiten von Z_115 bilden bzgl. der Multiplikation modulo 115 eine Gruppe G. Es sei bekannt, dass die von der Zahl 22 erzeugte Untergruppe in G genau 4 Elemente hat. Welche sind das? Stellen Sie die Gruppentafel für diese Untergruppe auf. |
Hallo,
ich bin so weit, dass ich verstehe, warum die Zahl 22 genau 4 Elemente hat:
22 = [mm] 2^1 [/mm] * [mm] 11^1
[/mm]
phi(22) = (1+1) * (1+1) = 4
So weit so gut, wenn ich jetzt aber die genauen Teiler der Zahl 4 rausbekommen möchte, komme ich eben nur auf 3:
2 * 11 = 22
2 = 2
11 = 11
fehlt mir da jetzt noch was? Kann es sein, dass die 1 mitgezählt wird? Wenn ja, kann ich das irgendwie herunterschreiben ("beweisen") oder wird das einfach als gegeben betrachtet? Oder ist dies die falsche Methode, die genauen Teiler herauszufinden?
Desweiteren weiß ich nicht, wie ich die Gruppentafel aufstellen kann.
Ich hoffe, dass ihr mir hier irgendwie weiter helfen könnt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Di 24.07.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
also ich weiß nicht warum du die Teiler von 4 berechen willst. Wenn du weißt, dass die von 22 erzeugte Untergruppe Ordnung vier hat. Dann bedeutet das doch, dass [mm] 22^4 \equiv [/mm] 1 mod 115 ist. Die anderen fehlenden beiden Elemente bestimmst du ganz einfach indem du [mm] 22^2 \equiv [/mm] ? mod 115 rechnest und [mm] 22^3 \equiv [/mm] ? mod 115.
Die Multiplikationstabelle ist dann auch schnell aufgestellt.
Grüße
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