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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Fr 07.12.2007 | | Autor: | crashby |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Matrizen [mm]A\in M_{22}[/mm], für die [mm]AB=BA[/mm] für alle [mm]B\in M_{22}[/mm] gilt |
Hey Leute,
habe leider keinen richtigen Ansatz bei dieser Aufgabe.
Ich weiß das die Kommutativität im Allgemeinen nicht gilt.
lg George
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Hallo Bin mir da nicht ganz sicher aber ich denke die Menge ist:
[mm] M_{2 \times 2}={ \pmat{ a & b \\ -b & a } | a,b \in \IR }.
[/mm]
Das zu beweisen sind sehr leicht! das mit der Einheitsmatrix war natürlich blöd ;) habs im späteren post schon korrigiert. Danke Martin
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Fr 07.12.2007 | | Autor: | crashby |
Danke erstmal dafür aber was soll ich jetzt beweisen ?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi
hab meinen vorigen post gerade erweiter :)
Zeige das beides die einheitsmatrix ergibt damit ist AB=BA
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi
Sorry habs gerade mal durchgerechnet: Das mit der einheitsmatrix ist völliger stuss :( rechne einfach mit der menge nach das AB=BA ist. Wenn du AB berechnest dann siehst du das das produkt in der menge entahlten ist analog auch BA. So meinte ich das ich hoffe ich habe dich nicht mit der einheitsmatrix zu sehr verwirrt.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Fr 07.12.2007 | | Autor: | crashby |
Hey ich hab mal das probiert:
Sei [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]und [mm]B=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] dann gilt AB=BA, wenn ich b=c=0 setze.
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Hi
Sei A = [mm] \pmat{ a & b \\ -b & a } [/mm] und B = [mm] \pmat{ c & d \\ -d & c } [/mm] Bereche das produkt AB und BA dann siehst du das beide in der Menge dirn sieht oder mach es so wie martin gesagt hat: AB-BA=0!!!Ist das selbe
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Fr 07.12.2007 | | Autor: | crashby |
Hey ich habe das nun so gemacht:
Sei [mm]A=\pmat{ a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 }[/mm] und [mm]B=\pmat{ b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 }[/mm]
Nun [mm] A\cdot B-B\cdot [/mm] A =0
dann habe ich folgendes raus:
[mm]\pmat{ 0 & a_1\cdotb_2+a_2\cdot b_4-b_1\cdot a_1+b_2 \cdot a_4 \\ 0 & a_3\cdot b_2+a_4\cdot b_4 -b_3\dot a_1+b_4\cdot a_4 }=0[/mm]
Ja das sieht irgendwie daneben aus oder :) ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
> Hey ich habe das nun so gemacht:
>
> Sei [mm]A=\pmat{ a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 }[/mm] und [mm]B=\pmat{ b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 }[/mm]
>
> Nun [mm]A\cdot B-B\cdot[/mm] A =0
>
> dann habe ich folgendes raus:
>
> [mm]\pmat{ 0 & a_1\cdotb_2+a_2\cdot b_4-b_1\cdot a_1+b_2 \cdot a_4 \\ 0 & a_3\cdot b_2+a_4\cdot b_4 -b_3\dot a_1+b_4\cdot a_4 }=0[/mm]
>
> Ja das sieht irgendwie daneben aus oder :) ?
Ja irgendiwe schon :)
Zunächst einmal hast du dir eine Matrix genommen bei der man ja alle möglich zahlen einsetzen kann und die matrixmult ist ja i.A nicht kommutativ.
Mit deinem Beispiel kommst du sicher nicht auf Null: Rechne mal mit deinen gewählten Matrizen AB und BA aus und dann subtrahiere da kommt nicht 0 heraus. Nimm meine Matrizen A= [mm] \pmat{ a & b \\ -b & a } [/mm] und B = [mm] \pmat{ c & d \\ -d & c } [/mm] Dann rechne wie martin sagte AB-BA aus und jetzt kommt 0 heraus.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Fr 07.12.2007 | | Autor: | crashby |
Ja okay das leutet mir ein. Bleiben nur noch zwei Fragen und zwar wieso wähle ich A und B so?
Was sagt mir es wenn 0=0 raus kommt
Danke für eure Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
>
> Was sagt mir es wenn 0=0 raus kommt
>
Es kommt nicht 0=0 heraus. Du sollst AB-BA=0 berechnen und das bedeutet das AB=BA ist und bei diesen Matrizen die kommutativität erfüllt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Fr 07.12.2007 | | Autor: | crashby |
Hey,
Ich habe ja überprüft ob das gilt:
AB-BA=0 und habe eben eine wahre Aussage erhalten, sprich wie du schon erwähnt hast gilt die Aussage AB=BA für die gewählten MAtrizen.
Ich muss das ja auch richtig aufschreiben.
Also setze ich beim Beweis eine Annachme voraus und zeige es dann so wie ihr mir es vorgeschlagen habt.
Danke für eure Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Fr 07.12.2007 | | Autor: | crashby |
aber zur Kontrolle nochmal :) :
Ich habe also AB-BA=0 und erhalte:
[mm]\pmat{ ac-bd & ad+bc \\ -bc+ad & -bd+ac }-\pmat{ ac-db & cb+da \\ -da-cb & -db+ca }=0[/mm]
und wenn ich das jetzt noch Komponentenweise subtrah. erhalte ich 0=0 oder ist das Quatsch ;) ? DAmit habe ich doch dann AB=BA gezeigt für meine Annahme.
lg
einen schönen Abend noch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Ja das ist richtig!
Aber evtl musst du auch noch zeigen das [mm] A^{-1} [/mm] in deiner Menge drin liegt denn es gilt ja offensichtlich das AB=BA=E ist [mm] \gdw B=A^{-1} [/mm] ist.
Du musst nur die Inerverse von A bilden diese mit A multiplizieren und dann muss die Einheitsmatrix heraus kommen und das tut sie auch ;)
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Fr 07.12.2007 | | Autor: | crashby |
Hey,
das wollte ich grad noch fragen :) danke danke
Wenn ich die alles sauber aufgeschrieben habe dann poste ich das nochmal und wenn es richtig ist wird es in die DAtenbank gepackt.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Fr 07.12.2007 | | Autor: | crashby |
Hey Martin, danke für die Mühe die du dir gemacht hast.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:52 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Martin243 |
Hallo,
das ist leider immer noch falsch.
Mit [mm] M_{2,2} [/mm] ist wohl die Menge aller [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen gemeint.
Also soll für jede beliebige Matrix B ein und dasselbe A die Bedingung erfüllen. Annahmen über die Struktur von B dürfen nicht gemacht werden!
Somit rechnen wir mit allgemeinen Matrizen A und B:
[mm] $A=\pmat{ a_{{1,1}}&a_{{1,2}} \\ a_{{2,1}}&a_{{2,2}}}$
[/mm]
[mm] $B=\pmat{ b_{{1,1}}&b_{{1,2}} \\ b_{{2,1}}&b_{{2,2}}}$
[/mm]
$AB - BA= [mm] \pmat{a_{{1,2}}b_{{2,1}}-a_{{2,1}}b_{{1,2}}&a_{{1,1}}b_{{1,2}}+a_{{1,2}}b_{{2,2}}-b_{{1,1}}a_{{1,2}}-b_{{1,2}}a_{{2,2}} \\ a_{{2,1}}b_{{1,1}}+a_{{2,2}}b_{{2,1}}-b_{{2,1}}a_{{1,1}}-b_{{2,2}}a_{{2,1}}&a_{{2,1}}b_{{1,2}}-a_{{1,2}}b_{{2,1}}} [/mm] = 0$
Wir fangen mit den Elementen der Hauptdiagonalen an:
Da [mm] $b_{2,1}$ [/mm] und [mm] $b_{1,2}$ [/mm] beliebig sind, ist der linke obere Eintrag nur Null, wenn [mm] $a_{1,2}=a_{2,1}=0$ [/mm] gilt.
Damit ist auch der rechte untere Eintrag erledigt.
Mit diesen Ergebnissen gehen wir nun an die Nebendiagonale. Hier gilt nun unten links:
[mm] $a_{{2,2}}b_{{2,1}}-b_{{2,1}}a_{{1,1}} [/mm] = 0$
Also:
[mm] $(a_{{2,2}} [/mm] - [mm] a_{1,1})b_{{2,1}} [/mm] = 0$
Somit:
[mm] $a_{2,2} [/mm] = [mm] a_{1,1}$
[/mm]
Für den rechten oberen Eintrag gilt dasselbe.
Also gilt für A: $A = [mm] r*\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}, t\in\IR$.
[/mm]
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Natürlich darf man eine annahme über B machen. diese ist dann nur zu beweisen. dein A= r * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ist richtig aber was ist an meinen matrizen falsch??????
BSP: [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ -2 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 3 & 4 \\ -4 & 3 } [/mm] = [mm] \pmat{ -5 & 10 \\ -10 & 5 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 4 \\ -4 & 3 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ -2 & 1 } [/mm] das ist doch wohl richtig. Und allgemein hab ich das mit a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] geschrieben. somit sind das ALLE [mm] M_{2 \times 2} [/mm] Matrizen oder etwas nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Martin243 |
Hallo,
nein, denn die Matrix B = [mm] \pmat{1 & 2 \\ 3 & 4} [/mm] ist in deiner Beschreibung nicht enthalten, wohl aber in [mm] $M_{2,2}$.
[/mm]
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Ahhh jetzt versteh ich
sorry
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 21:03 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Martin243 |
Hallo,
jede Matrix A soll die Bedingung für alle Matrizen B erfüllen. Also darf A nicht von B abhängig sein.
Ich würde einfach mal allgemein A*B-B*A=0 lösen.
Gruß
Martin
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